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In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria, il teorema delle funzioni implicite è un importante strumento che stabilisce quando il luogo di zeri di un'equazione implicita si può esplicitare rispetto a una variabile.

Il caso più semplice del teorema è detto dalla scuola pisana teorema di Dini.

Indice

Il teorema di DiniModifica

Il teorema di Dini stabilisce che una funzione reale di classe   di due variabili del tipo:

 

definisce implicitamente un'unica funzione del tipo:

 

in un intorno di un punto   tale che (esplicitando rispetto alla variabile y):[1]

 

Il teorema di Dini fornisce quindi una condizione sufficiente affinché esista un'unica funzione   tale che

 

sia soddisfatta al variare di  , ovvero un'unica funzione   tale che

 

sia soddisfatta al variare di  .

Questo non significa che sia possibile esplicitare una delle due incognite in funzione dell'altra, ovvero che sia possibile trovare   oppure   in forma esplicita, ma mostra piuttosto che esiste almeno una delle due funzioni, detta funzione implicita.

Se ci si limita all'individuazione di particolari tipi di funzione, ad esempio quelle continue e definite su un intervallo, si può dimostrare anche la loro unicità, il che sancisce un'equivalenza formale tra la scrittura implicita   e quella esplicita   oppure  . Ad esempio, l'equazione:

 

ben definisce un'unica funzione continua   definita per ogni   reale, che tuttavia non può essere scritta esplicitamente.

EnunciatoModifica

Sia   una funzione a valori reali, differenziabile e le cui derivate parziali prime siano funzioni continue. Sia inoltre   tale che:

 

Il teorema afferma che esiste una funzione derivabile reale:

 

la cui derivata prima sia continua. Inoltre, il grafico di   è l'insieme delle coppie:

 

che sono contenute nel rettangolo:

 

Il teorema in due dimensioniModifica

Si consideri una funzione di classe C1   definita su un insieme aperto  , e si consideri l'insieme:

 .

Se   è non vuoto esiste un punto   tale che:

 

Il teorema afferma che se   non è un punto critico, ovvero:

 

allora esiste un intorno   di   tale che l'insieme   è il grafico di una funzione derivabile.

Questo equivale a dire che esiste un'unica funzione del tipo   o del tipo   che mette in relazione le due incognite   e  . Si noti che questo non significa che è davvero possibile esplicitare una delle due variabili in funzione dell'altra, ma solo che l'equazione definisce implicitamente un legame tra le due incognite che è univoco.

Sia   una funzione di classe   nell'aperto   e sia   tale che:

 

Allora esistono un intervallo reale aperto  , con  , un intervallo reale aperto  , con  , ed una funzione   di classe   in   a valori in   tali che:

 

e tali che per ogni   la relazione:

 

si verifica se e solo se:

 

Scambiando i ruoli delle variabili si giunge a definire una funzione  .

DimostrazioniModifica

Prima dimostrazioneModifica

Sia data una funzione continua   di classe   in   tale che   in tutti i punti tali che  , cioè nella curva di livello:

 .

Sia   un punto di   e si consideri il relativo sviluppo al primo ordine di Taylor:

 

Tenendo conto che  , uguagliando a zero la prima parte del termine al primo ordine si ottiene:

 

Per ipotesi, tale equazione di primo grado ha almeno un coefficiente diverso da zero, e si può porre  . Si può quindi ricavare   in funzione di  :

 

Il teorema mostra che l'errore nella formula di approssimazione al primo ordine non incide sulla possibilità di esprimere una variabile in funzione dell'altra.

La funzione ottenuta ha sviluppo al primo ordine:

 

Seconda dimostrazione (Teorema delle contrazioni)Modifica

Sia data una funzione continua   di classe   nell'aperto   tale che per   si abbia

 

Sia definita la funzione

 

allora   e   per  . Dunque trovare gli zeri di   si riduce a trovare il punto fisso della funzione  .

Grazie al teorema delle contrazioni sappiamo che, definito

 

siccome  ,   è facile dimostrare che sia uno spazio metrico completo, allora

 

Sia   una contrazione tale che

 

ci basta dimostrare che   sia ben definita, cioè che  . Questa deve avere le seguenti proprietà:

  1.   è continua in  
  2.  

La prima è ovvia siccome l'operatore è composizione di funzioni continue. La seconda può essere dimostrata tramite una catena di disuguaglianze

 

dove si è applicato il teorema di Lagrange ed il fatto che

 

Ora basta dimostrare che   sia una contrazione:

 

Il teorema in più dimensioniModifica

Sia   una funzione di classe  , dove   è il prodotto cartesiano   i cui elementi sono del tipo  . Sia inoltre   un punto tale che  .

Data la matrice jacobiana di   in  :

 

si supponga che   è invertibile.

Il teorema delle funzioni implicite afferma che vi sono due insiemi aperti   e   contenenti rispettivamente   e   tali che per ogni   esiste un unico   che soddisfa   e  . Inoltre, la funzione   tale che   è una funzione di classe   tale che:[2]

 

dove   è la jacobiana di   in  . La relazione:

 

definisce implicitamente  .

Il teorema stabilisce quindi che il sistema  :

 

può essere risolto esplicitando   in funzione di   in un intorno di   se il sistema è risolvibile in   e se   è invertibile.[3] Le soluzioni così trovate sono inoltre funzioni di classe  . Il teorema può essere generalizzato al caso di funzioni analitiche.

Il teorema si estende anche agli spazi di Banach.

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 225
  2. ^ W. Rudin, Pag. 226
  3. ^ W. Rudin, Pag. 227

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • V.Barutello, M.Conti, D.L.Ferrario, S.Terracini, G.Verzini, Analisi matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale, Apogeo Editore, 2008, ISBN 8850324235.

Voci correlateModifica

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