Differenze tra le versioni di "Geometria differenziale delle curve"

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Un ''sistema di Frenet'' è un [[sistema di riferimento]] mobile di <math>n</math> [[base ortonormale|vettori ortonormali]] <math> \mathbf e_1(t), \ldots,\mathbf e_n(t)\,\! </math> dipendenti da <math> t </math>, utili per descrivere il comportamento locale della curva in <math>f(t)</math>.
 
Si supponga che la curva sia ''regolare'', cioè che le derivate <math> f'(t), \ldots, f^{(n)}(t)\,\! </math> sianoformino una [[linearmentebase (algebra indipendentilineare)|base]], e quindi formino unasiano [[baselinearmente (algebra lineare)|baseindipendenti]]. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di [[ortonormalizzazione di Gram-Schmidt]].
 
Le ''curvature generalizzate'' sono definite come:
=== 2 dimensioni ===
[[File:Osculating circle.svg|thumb|Il cerchio osculatore]]
Nel piano, il primo vettore di Frenet <math>\mathbf e_1(t)</math> è lail ''versore tangente'' <math>\hat\mathbf T</math> alla curva al valore <math>t</math> del parametro, mentre il vettore <math>\mathbf e_2(t)</math>, detto ''vettoreversore normale'' <math>\hat\mathbf N</math> è il vettore normale a <math> \mathbf e_1(t) </math>, {{Chiarire|nella direzione in cui curva|frase incompleta}}. La ''curvatura'':
 
Il ''cerchio osculatore'' è il cerchio tangente a <math>\mathbf e_1(t)</math> e di raggio <math> 1/k r</math>. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al valore <math>t</math> del parametro "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di <math>f</math> nel punto. La ''curvatura'':
:<math>k(t) = \chi_1(t)</math>
 
:<math>k(t) = \chi_1(t)</math>
indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco è chiamato ''raggio di curvatura'':
 
indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco, corrispondente al raggio del cerchio osculatore in <math>t</math>, è chiamato ''raggio di curvatura'':
:<math>\frac{1}{k(t)}</math>
 
:<math>r(t) = \frac{1}{k(t)}</math>
Ad esempio, una [[circonferenza]] di raggio <math>r</math> ha curvatura costante <math> 1/r </math> mentre una linea retta ha curvatura nulla.
 
Ad esempio, una [[circonferenza]] di raggio <math>r</math> ha curvatura costante <math> k = 1/r </math>, mentre una linea retta ha curvatura nulla.
Il ''cerchio osculatore'' è il cerchio tangente a <math>\mathbf e_1(t)</math> e di raggio <math> 1/k </math>. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al valore <math>t</math> del parametro "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di <math>f</math> nel punto.
 
=== 3 dimensioni ===
[[File:Frenet.png|thumb|Un sistema di Frenet in tre dimensioni e il relativo piano osculatore evidenziato]]
Nello spazio tridimensionale, i vettori di Frenet prendono il nome di ''terna intrinseca'', mentre le curvature generalizzate sono dette ''curvatura'' e ''torsione''.
 
==== Versore tangente ====
 
==== Curvatura e torsione ====
La prima curvatura generalizzata <math>\chi_1(t)</math> è chiamata semplicemente ''curvatura'' di <math>f</math> in <math>t</math>, ed è data da
 
:<math>k(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{|f^'(t)|}</math>
:<math>\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{|f'(t)|}</math>
 
Il reciproco della curvatura nel punto <math>t</math> è il ''raggio di curvatura'' <math>\rho(t) = \left[k(t)\right]^{-1}</math>; inoltre una curva ha torsione nulla se e solo se è una [[curva piana]].
 
== Formule di Frenet-Serret ==
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