Logicismo: differenze tra le versioni
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Approfondendo l'antinomia da lui scoperta, Russell giunge al problema dell'esistenza degli enti matematici. Che senso ha l'espressione «esiste un numero (un insieme, etc.) che gode di una determinata proprietà»? Il quesito suscita un contrasto tra una concezione descrittiva (per cui l'ente matematico esiste indipendentemente dai metodi per individuarlo) e una concezione costituiva (per cui l'ente matematico è il risultato di atti o processi dell'attività razionale) della matematica.
Ebbene, [[Jules Henri Poincaré|Poincaré]] chiama "impredicative" le definizioni che fanno riferimento alla totalità a cui l'ente da definire appartiene; e "predicative" le definizioni che non vi fanno riferimento. Il processo definitorio delle definizioni impredicative (che individua un ente riferendosi a totalità alle quali l'ente appartiene) è un problema in una concezione costitutiva, riferendosi a qualcosa di non ancora costruito.
Per evitar definizioni impredicative (e relative fallacie dell'autoriferimento) Russell elabora una [[teoria dei tipi]]: gerarchie di livelli degli enti logici, organizzati dai più semplici ai più complessi, definiti riferendosi ad enti già dati.
(Livello 0: gli elementi. Livello 1: gli insiemi di elementi. Livello 2: gli insiemi di insiemi di elementi. E così via). <br>In tale teoria vale il principio del circolo vizioso: nessuna totalità può contener elementi definiti in termini di se stessa. Il problema del sistema logico che Russell è la sua debolezza: senza definizioni impredicative, la matematica costruibile su tale base logica è limitata; e richiede assiomi estranei allo spirito sia predicativista sia logicista di partenza. Un esempio è l'assioma dell'infinito (esiste un tipo a cui appartengono infiniti individui distinti), senza cui si avrebbe l'esistenza di n individui che renderebbero possibile costruire i numeri cardinali da 0 a n, ma n+1 sarebbe una classe nulla, di conseguenza n+1 e tutti i successivi numeri naturali sarebbero tutti identici (cioè 0), il che sarebbe una catastrofe aritmetica.
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