Funzione differenziabile: differenze tra le versioni
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definita su un [[insieme aperto]] dello [[spazio euclideo]] <math> \R^n </math> è detta differenziabile in un punto <math>\mathbf{x}_0</math> del [[dominio (matematica)|dominio]] se esiste una [[applicazione lineare]]:
:<math>\mathbf{L}\colon\R^n \rightarrow \R^m</math>
tale che valga l'approssimazione:<ref>{{Cita|
:<math>\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h}) </math>
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si chiama [[differenziale (matematica)|differenziale]] ([[Differenziale esatto|esatto]]) di <math>\mathbf{F}</math> in <math>\mathbf{x}_0</math> ed <math>\mathbf{L}(\mathbf{x_0})</math> viene detto ''derivata'' o anche [[derivata totale]] della funzione <math>\mathbf{F}</math>.
La funzione <math>\mathbf{F}</math> è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.<ref>{{Cita|
Nel caso di una funzione <math>f</math> di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in <math>{x}_0</math> se esiste un'applicazione lineare <math>{L}:\mathbb R \rightarrow \mathbb R</math> tale che:<ref>{{Cita|
:<math>\lim_{{h}\to {0}} \frac { {f}({x}_0+{h})-{f}({x}_0)-{L}({x}_0){h} } {h} = {0}</math>
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L'[[trasformazione lineare|applicazione lineare]] <math>\mathbf L(\mathbf x_0)</math> è quindi [[matrice di trasformazione|rappresentata]] nelle basi canoniche da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>m \times n</math>, detta [[matrice jacobiana]] <math>J_F</math> di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.
Il <math>j</math>-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:<ref>{{Cita|
:<math>\mathbf L(\mathbf x )\mathbf{h} = \sum_{i=1}^m \left[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial F_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} h_j \right] \mathbf u_i = J_F \mathbf h = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}\mathbf h.</math>
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== Bibliografia ==
* {{cita libro
* {{cita libro
== Voci correlate ==
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