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Funzione differenziabile

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile allora è derivabile nel punto poiché esistono e sono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere differenziabile volte, e si parla in questo caso di funzione di classe . Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

DefinizioneModifica

 
Una funzione da   in   è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.

Una funzione:

 

definita su un insieme aperto dello spazio euclideo   è detta differenziabile in un punto   del dominio se esiste una applicazione lineare:

 

tale che valga l'approssimazione:[1]

 

dove   si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all'annullarsi dell'incremento  . Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

 

Se la funzione   è differenziabile in  , l'applicazione   è rappresentata dalla matrice jacobiana  .

Il vettore:

 

si chiama differenziale (esatto) di   in   ed   viene detto derivata o anche derivata totale della funzione  .

La funzione   è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.[2] In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa   a   è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.[3]

Nel caso di una funzione   di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in   se esiste un'applicazione lineare   tale che:[4]

 

ed in tal caso si ha:

 

Matrice JacobianaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice Jacobiana.

Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di classe  .

Dette:

 

le basi canoniche di   e   rispettivamente, si ha:

 

L'applicazione lineare   è quindi rappresentata nelle basi canoniche da una matrice  , detta matrice jacobiana   di   in  .

Il  -esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:[5]

 

A seconda delle dimensioni   e  , il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

  • Se  , la matrice jacobiana si riduce ad un vettore  -dimensionale, chiamato gradiente di   in  . In tal caso si ha:
 
Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.
  • Se  , la funzione   parametrizza una curva in  , il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.
  • Se  , la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Differenziabilità in analisi complessaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione olomorfa.

Sia   un sottoinsieme aperto del piano complesso  . Una funzione   è differenziabile in senso complesso ( -differenziabile) in un punto   di   se esiste il limite:

 

Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a   il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con  . Se   è differenziabile in senso complesso in ogni punto   di  , essa è una funzione olomorfa su  . Si dice inoltre che   è olomorfa nel punto   se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che   è olomorfa in un insieme non aperto   se è olomorfa in un aperto contenente  .

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa   è olomorfa allora   e   possiedono derivata parziale prima rispetto a   e   e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:

 

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger   di   rispetto al complesso coniugato   di   è nulla.

Proprietà delle funzioni differenziabiliModifica

  • Una funzione differenziabile in un punto   è continua in  . Infatti:
 
per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.
  • Se   è una funzione differenziabile in  , allora essa ammette tutte le derivate parziali in  . Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:
 
ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in   la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in  .
Tuttavia, se   è di classe   in un intorno di  , cioè se esistono tutte le derivate parziali di   e queste sono funzioni continue, allora   è differenziabile in  . Vale quindi, se   è aperto, che   implica la differenziabilità in   che implica a sua volta che  .

ApprossimazioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Serie di Taylor.

Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima   in un intorno di   è la funzione:

 .

Per verificarlo, si consideri un intorno di   di raggio  .

Se si effettua uno zoom sul grafico di   in modo che l'intorno ci appaia di raggio  , la distanza che si vede tra la funzione   e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto   è pari a:

 

dove la divisione per   corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell'intorno riscalato è:

 ,

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di   si deduce che:

 ,

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di   e della sua approssimazione affine intorno a   è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di  .

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 213.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 214.
  3. ^ W. Rudin, Pag. 220.
  4. ^ W. Rudin, Pag. 212.
  5. ^ W. Rudin, Pag. 217.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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