Gioco cooperativo: differenze tra le versioni
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esempio di imputazione e relazione di dominanza tra imputazioni |
→La formazione delle sotto-coalizioni: completato |
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L'esistenza di un insieme <math>F \subset R</math> per cui si abbia <math> \sum_{j \in F} a_j < v(F) </math> ha come conseguenza il fatto che alcuni membri di <math>R</math>, individuati come elementi di <math>F</math>, rilevano che l'imputazione <math> {\mathbf a} </math> è dominata da un’imputazione <math> {\mathbf b} </math>. Questi giocatori si distaccheranno dalla grande-coalizione per costituire la coalizione più piccola <math>F</math>, i giocatori rimasti in <math>R</math> simultaneamente rilevano che <math>{\mathbf b} \succ {\mathbf a} </math> e formeranno la coalizione <math>R-F</math>.
Si consideri, ad esempio, l'imputazione
:<math>a_j := v( \{ j \} ) + { { v(R) - \sum_{j=1}^n v( \{ j \} ) } \over { n } } </math> per <math>j=1, \ldots , n</math>
ipotizzato che <math> \sum_{j \in F} a_j < v(F) </math>, si prenda <math> 0 < \delta = v(F) - \sum_{j \in F} a_j </math>0 < e si consideri <math>b_j = a_j + \delta / |F| </math> per ciascun <math>j \in F</math>.
L'allocazione che spetta alla coalizione antagonista risulta quindi essere
<math>b_j = a_j + \epsilon </math> per <math>j=1, \ldots ,|F^c|</math> dove <math> \epsilon = v( \{ j \} ) + { { v(R) - v(F) - \sum_{j \in F^c} v( \{ j \} ) } \over { | F^c | } } \geq 0 </math>
Si constata immediatamente che il vettore <math> {\mathbf b} = (b_1, b_2, \ldots , b_n) </math> è un'imputazione: infatti <math>b_j \geq v( \{ j \} ) </math> per ogni <math>j=1, \ldots , n</math> e <math> \sum_{j=1}^n b_j = v(R) </math> poiché
:: <math> \sum_{j=1}^n b_j = \sum_{j \in F} b_j + \sum_{j \in F^c} b_j = \sum_{j \in F} a_j + |F| \cdot \delta + \sum_{j \in F^c} v( \{ j \} ) + |F^c| \cdot \epsilon = v(R)</math>
Infine, poiché risulta <math>b_j > a_j </math> per ciascun <math>j \in R</math> <math> \sum_{j \in F} b_j \leq v(F) </math> si può concludere che <math>{\mathbf b} \succ {\mathbf a} </math>.
== Soluzioni nel senso di Von Neumann-Morgenstern ==
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