Interferenza (fisica): differenze tra le versioni

[[Isaac Newton]], dall'osservazione delle ombre create dagli oggetti investiti dalla [[luce]], ipotizzò che essa fosse composta da corpuscoli che venivano bloccati dalla superficie illuminata di quei corpi. La congettura di Newton resistette per diverso tempo fino a quando [[Thomas Young]] dimostrò nel suo celebre [[Esperimento di Young|esperimento]] del [[1801]], il primo in cui appunto veniva evidenziato il fenomeno dell'interferenza luminosa, la natura ondulatoria della luce, scardinando così la teoria corpuscolare che comunque, già all'epoca di Newton, iniziava ad essere falsificata (lo stesso fisico inglese non riuscì ad esempio a spiegare il fenomeno degli [[anelli di Newton]], che può essere compreso solo ricorrendo a modelli ondulatori). La doppia natura di "onda" e "quanto", della luce, fu in seguito appurata mediante gli studi sul [[corpo nero]], sull'[[effetto Compton]], sull'[[effetto fotoelettrico]] e sull'[[assorbimento della radiazione]] da parte della materia.

L'[[esperimento di Young]] venne ripetuto nel [[1961]], utilizzando stavolta non radiazioni elettromagnetiche ma fasci di [[Elettrone|elettroni]]; anche in quel caso si osservò il fenomeno dell'interferenza, a conferma dell'ormai collaudato formalismo della [[meccanica quantistica]] e in particolar modo della cosiddetta ipotesi del [[dualismo onda-particella]].

Quello che interessa ai fini della trattazione è come si distribuisce l'intensità luminosa sulla lastra, e quindi capire come questa varia tra i massimi e i minimi. La condizione di [[campo vicino e campo lontano|campo lontano]], necessaria per poter trattare le due fenditure come puntiformi, consente di affermare che i vettori <math>\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}</math> congiungenti le due aperture con il punto ''P'' della lastra in cui si intende valutare l'intensità possono essere considerati paralleli in prossimità delle fenditure. La differenza di cammino ottico, ossia la lunghezza in più che la prima onda percorre rispetto alla seconda prima di giungere in ''P'', può essere dunque approssimata nel seguente modo:

: <math>|r_1 - r_2| = d \, \sin \alpha</math>,

dove α<math>\alpha</math> è l'angolo compreso tra i due vettori e la normale allo schermo e ''<math>d''</math> la distanza tra le aperture. Prendendo ora in considerazione le leggi che descrivono l'andamento, ad esempio del [[campo elettrico]], per le due onde che partono dalle fenditure si ha:

: <math>E_1 = E_0 \cos (kr_1 - \omega t) \qquad E_2 = E_0 \cos (kr_2 - \omega t)</math>,

essendo '''<math>\mathbf{k'''}</math> il [[numero d'onda]], ω<math>\omega</math> la [[pulsazione]] e <math> E_0 </math> l'ampiezza del campo che incide sullo schermo. L'interferenza delle due perturbazioni in ''P'', ad esempio in ''<math>t=0''</math>, si deduce subito dalle [[formule di prostaferesi]]:

: <math>E = E_1 + E_2 = 2E_0 \cos \frac{k(r_1+r_2)}{2} \cos \frac{k(r_1-r_2)}{2} \approx 2E_0 \cos \frac{k(r_1+r_2)}{2} \cos \frac{kd \, \sin \alpha}{2}</math>.

datoDato che si può certamente porre <math>r_1+r_2 \approx 2r_1</math>, si avrà in definitiva:

: <math>E = 2E_1 \cos \frac{kd \, \sin \alpha}{2}</math>.

laLa figura di interferenza è legata all'intensità del campo incidente la lastra, che è direttamente proporzionale al quadrato dell'ampiezza del campo elettrico. Quindi

è la relazione che esprime l'intensità in funzione dell'angolo (o se si preferisce, in funzione della differenza di cammino ottico) e dell'intensità dell'onda che incide sullo schermo. Evidentemente, quando la differenza di cammino ottico è pari ad un multiplo intero della lunghezza d'onda λ<math>\lambda</math>

i due campi interferiscono in fase, l'interferenza è costruttiva e si osserva un massimo nella figura di interferenza; viceversa, quando tale differenza coincide con un multiplo dispari di mezza lunghezza d'onda.

le perturbazioni interferiscono in controfase, l'interferenza è distruttiva e si osserva un nullo di intensità. In termini della coordinata ''<math>x''</math> sulla lastra, calcolata a partire dal centro, considerato che, almeno per piccoli angoli

dove ''<math>L''</math> è la distanza tra lo schermo e la lastra, si può quindi affermare che la distanza tra due massimi (o minimi) consecutivi è data da:

In conclusione, la distribuzione dell'intensità sullo schermo non è uniforme, ma si manifesta in fasce chiare e scure alternate. Questa ridistribuzione dell'intensità rispetta il [[Legge di conservazione dell'energia|principio di conservazione dell'energia]], nel senso che la potenza incidente sulla lastra coincide esattamente con quella che transita attraverso le due fenditure. Lo spessore delle fasce, in questo caso uguale per tutte (sempre per piccoli angoli), sarà pari alla metà di ''Δx''<math>\Delta x</math>; ovviamente, si osserverà anche una certa sfumatura ai bordi delle medesime.

Si supponga ora di avere una griglia regolare costituita da un numero molto grande ''<math>N''</math> di fenditure, distanziate l'una dall'altra sempre di ''<math>d''</math>. Il metodo che qui adotteremo è quello dei [[Fasore|fasori]], più comodo da usare quando si tratta di sommare i contributi di più di due sorgenti; in questo contesto, il fasore associato è un vettore di modulo pari a quello del campo elettrico e di fase pari alla componente spaziale ''<math>kr''</math>. La somma dei campi elettrici viene così rappresentata nel seguente modo:

nell'ipotesi che la distanza ''<math>d''</math> sia molto piccola rispetto alla lunghezza d'onda, tanto da poter considerare la differenza di cammino ottico dell''' <math>n+1''</math>-esimo fasore rispetto al primo, <math> nd\sin\alpha </math>, come una variabile continua. Il risultato dell'integrazione è:

: <math> E = E_1 \, \frac{{e}^{ikNd\sin\alpha}-1}{ikd\sin\alpha} = E_1 \, \frac{{e}^{\frac{ikNd\sin\alpha}{2}}}{\frac{kd\sin\alpha}{2}}\frac{{e}^{\frac{ikNd\sin\alpha}{2}}-{e}^{-\frac{ikNd\sin\alpha}{2}}}{2i} </math>.

usandoUsando la [[formula di Eulero]] si ottiene:

: <math> I = I_1N^2 \, {\left[\frac{\sin\left(\frac{kNd\sin\alpha}{2}\right)}{\frac{kNd\sin\alpha}{2}}\right]}^2 </math>.

ilIl ''pattern'' di diffrazione coincide quindi con il quadrato di un [[seno cardinale]] in funzione della variabile <math> \frac{Nd \sin\alpha}{\lambda} </math>.

I nulli di intensità corrispondono ai valori di <math> \sin\alpha </math> per i quali questa quantità è un intero ''<math>m''</math> non nullo, cioè

: <math> \sin\alpha = m \frac{\lambda}{Nd} \; , \quad m = \pm 1, \pm 2 \ldots </math>,

mentre i massimi sono intercalati tra i vari minimi in una qualche maniera; il picco di intensità si trova ovviamente nel centro, cioè per α<math>\alpha</math> nullo.

L'estensione al caso tridimensionale è ovvia, richiede solo di osservare che la differenza di cammino ottico è data dalla proiezione del vettore '''<math>\mathbf{x'''}</math> che congiunge la prima apertura con la seconda sul versore '''û'''<math>\mathbf{\hat{u}}</math> che individua la posizione di ''P''; dunque in generale:

: <math> E = E_1\int_{S}{e}^{i\mathbf{kx}}\mbox{d}\mathbf{x} </math>,

essendo ''S'' la superficie occupata dalla griglia e '''<math>\mathbf{k'''}</math> il vettore ''<math>k'''''û''' \mathbf{\hat{u}}</math>. La presenza del reticolato dunque non fa altro che eseguire la [[trasformata di Fourier]] [[passa basso]] del disegno (in funzione di '''<math>\mathbf{k'''}</math>), con “frequenza di taglio” dipendente dalla lunghezza d'onda.

Un'analisi più accurata, valida per un numero qualsiasi di fenditure e soprattutto per una generica lunghezza d'onda, prevede l'uso della [[serie geometrica]] per esprimere la [1]:

: <math> E = E_1\frac{1-{e}^{ikNd\sin\alpha}}{1-{e}^{ikd\sin\alpha}} = E_1 \, \frac{{e}^{\frac{ikNd\sin\alpha}{2}}}{{e}^{\frac{ikd\sin\alpha}{2}}}\frac{\sin\left(\frac{kNd\sin\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{kd\sin\alpha}{2}\right)} </math>.

attraversoAttraverso questa relazione si ottiene una miglior stima per la figura di interferenza:

: <math> I = I_1N^2 \, {\left[\frac{\sin\left(\frac{kNd\sin\alpha}{2}\right)}{N\sin\left(\frac{kd\sin\alpha}{2}\right)}\right]}^2 </math>,

(si noti che la condizione è indipendente dal numero di fenditure), mentre gli altri massimi, detti secondari, si ottengono in corrispondenza dei punti in cui il seno a frequenza multipla, al numeratore, è massimo in modulo e quello al denominatore è non nullo:

:<math> \frac{kNd\sin\alpha}{2} = m \pi \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = \frac{m}{N} \frac{\lambda}{d} , \quad m \in Z </math> esclusi i punti in cui <math>m</math> è multiplo di <math>N</math> per non includere i massimi principali.

:<math> \frac{kNd\sin\alpha}{2} = \left(m + \frac {1}{2}\right) \pi \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = \frac{(m + \frac{1}{2})}{N} \frac{\lambda}{d} , \quad\ m \in Z </math>.

lL'estensione al caso multidimensionale è analoga a quella svolta sopra.

La condizione di massimo di intensità per due fenditure adiacenti, a distanza <math>d</math>, è:

: <math> \sin \alpha = \frac{m \lambda}{d} \; , \quad m = 0, \pm 1, \pm 2 \ldots </math>,

mentre la condizione di interferenza distruttiva per la singola fenditura è data da:

: <math> \sin \alpha = \frac{m \lambda}{a} \; , \quad m = \pm 1, \pm 2 \ldots </math>,

: <math> \sin \alpha^* = \frac{m_1 \lambda}{d} = \frac{m_2 \lambda}{a} \; \Leftrightarrow \; \sin \alpha^* = \frac{m \lambda}{a} \; , \quad m = \pm 1, \pm 2 \ldots </math>.

perPer lunghezze d'onda molto grandi rispetto ad <math>a</math>, il primo massimo assente si trova all'infinito, come ci si aspettava essendo trascurabili gli effetti di interferenza interni alle singole fenditure.