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In [[analisi funzionale]], la '''trasformata di Steinmetz''', il cui nome è dovuto a [[Charles Proteus Steinmetz]], è un operatore funzionale lineare che associa a una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>f(t)</math> di variabile reale, una funzione <math>F(s)</math> di variabile reale. Essa rientra nella categoria delle [[trasformata integrale|trasformate integrali]].
== Definizione ==
Data una funzione <math>f(t)</math> definita sull'[[insieme continuo]] <math>-\pi / \omega \le t \le \pi/\omega</math>, si definisce sua trasformata la funzione <math>\mathfrakmathcal{sS} \left\{f\right\}(\omega)</math> data da:
:<math>\mathfrakmathcal{sS} \left\{f\right\}(\omega) = \frac \omega \pi \int_{-\frac \pi \omega}^{\frac \pi \omega} \mathrm e^{-i \omega t} f(t)\,dt.</math>
Talvolta la trasformata è indicata nella forma <math>\mathfrakmathcal{sS} \left\{f(t)\right\}</math>, essendo <math>e</math> il [[numero di Nepero]] e il parametro <math>\omega</math> un [[numero reale]].
Questa [[trasformata integrale]] trasforma le [[equazione integrale|equazioni integrali]] e le [[equazione differenziale|equazioni differenziali]] in [[equazione polinomiale|equazioni polinomiali]], che sono più immediate da risolvere.
== Trasformata inversa ==
L'inversa della trasformata di Steinmetz '<math>\mathfrakmathcal{sS}^{-1}</math>, detta antitrasformata, è la funzione:
:<math>f(t) = \mathfrakmathcal{sS}^{-1}\left\{ g \right\} (t),</math>
dove <math>\mathfrakmathcal{sS}</math> è la trasformata di Steinmetz. Si prova che se una funzione <math>g(s)</math> ha la trasformata inversa <math>f(t)</math>, ovvero <math>f</math> è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione:
:<math>\mathfrakmathcal{sS}\{f\} (\omega) = g(\omega)</math>
allora <math>f(t)</math> è univocamente determinata:
:<math>\mathfrakmathcal{sS}^{-1}\left\{ g \right\} (t) = \Re{(g (\omega) \mathrm e^{i \omega t})}</math>
== Proprietà ==
* [[Linearità (matematica)|Linearità]]:
:<math>\mathfrakmathcal{sS}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathfrakmathcal{sS}\left\{ f(t) \right\} + b \mathfrakmathcal{sS}\left\{ g(t) \right\}</math>
* [[Derivata]]:
:<math>\mathfrakmathcal{sS}\{f^{'}\} = i \omega \mathfrakmathcal{sS}\{f\}</math>
:<math>\mathfrakmathcal{sS}\{f^{''}\} = - \omega^2 \mathfrakmathcal{sS}\{f\}</math>
:<math>\mathfrakmathcal{sS}\left\{ f^{(n)} \right\} = i^n \omega^n \mathfrakmathcal{sS}\left\{f\right\}</math>
* [[Integrale]]:
:<math>\mathfrakmathcal{sS}\left\{ \int_{0}^{t} f(\tau)\, d\tau \right\} = - {i \over \omega} \mathfrakmathcal{sS}\{f(t)\}</math>
* Traslazione complessa:
:<math>\mathfrakmathcal{sS}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = \mathfrakmathcal{sS}\left\{f\right\}(\omega - a)</math>
:<math>\mathfrakmathcal{sS}^{-1} \left\{ \mathfrakmathcal{sS}\left\{f\right\}(s - a) \right\} = e^{at} f(t)</math>
* Traslazione nel tempo:
:<math>\mathfrakmathcal{sS}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-a \omega} \mathfrakmathcal{sS}\left\{f\right\}(s)</math>
:<math>\mathfrakmathcal{sS}^{-1} \left\{ e^{-as} \mathfrakmathcal{sS}\left\{f\right\} \right\} = f(t - a) u(t - a)</math>
:dove <math>u(t)</math> è la [[funzione a gradino]] unitario o [[funzione gradino di Heaviside]].
* Moltiplicazione per <math>t</math> alla n-esima potenza:
:<math>\mathfrak (-1)^n\ \mathfrakmathcal{sS}\{\,t^nf(t)\} = \frac {d^n}{ds^n}[\mathfrakmathcal{sS}\left\{f\right\}(s)]</math>
* Prodotto di [[convoluzione]]:
:<math>\mathfrakmathcal{sS}\{f * g\} = \mathfrakmathcal{sS}\{ f \} \mathfrakmathcal{sS}\{ g \}</math>
* [[Funzione periodica]] di periodo <math>p</math>:
:<math>\mathfrakmathcal{sS}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt</math>
== Teorema del valore iniziale e del valore finale ==
* Teorema del valore iniziale:
:<math>f(0)=\lim_{t\rightarrow 0} f(t) =\lim_{\omega \rightarrow \infty}\omega \,\, \mathfrakmathcal{sS} \left\{f\right\}(\omega) </math>
* Teorema del valore finale: se esiste <math>f(\infty)</math>, allora:
:<math>f(\infty)=\lim_{t\rightarrow \infty} f(t)=\lim_{\omega \rightarrow 0}\omega \,\, \mathfrakmathcal{sS} \left\{f\right\}(\omega) </math>
== Trasformata di alcune funzioni notevoli ==
* [[Retta]]:
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\omega t + \theta\} = - 2 i</math>
* [[Delta di Dirac]]:
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\delta(\omega t + \theta)\} = - \frac {\mathrm e^{- i \theta}}{\pi} (2 \Theta (\omega) - 1) \Theta (\pi - \theta) \Theta (\pi + \theta) (\Theta (- \theta)- \Theta (\theta))</math>
* [[Funzione gradino di Heaviside]]:
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\Theta(t)\} = \frac {2 i}{\pi} \left(\Theta \left(- \frac 1 \theta\right)- \Theta \left(\frac 1 \theta\right)\right) \qquad (\omega \ne 0)</math>
* [[Funzione esponenziale]]:
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\, {\mathrm e^{\omega t + \theta}}\} = - \frac {\mathrm e^\pi - \mathrm e^{-\pi}}{2 \pi} (\mathrm e^\theta + \mathrm e^{-\theta} + i (\mathrm e^\theta - \mathrm e^{-\theta}))</math>
* [[Seno (trigonometria)|Seno]]:
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\sin (\omega t + \theta)\} = \mathrm e^{i (\theta - \frac \pi 2)} = \sin (\theta) - i \cos (\theta)</math>
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\sin^2 (\omega t + \theta)\} = 0</math>
* [[Coseno]]:
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\cos(\omega t + \theta)\} = \mathrm e^{i \theta} = \cos (\theta) + i \sin (\theta)</math>
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\cos^2(\omega t + \theta)\} = 0</math>
* [[Funzioni iperboliche|Seno iperbolico]]:
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\sinh(\omega t + \theta)\} = - \frac {\mathrm e^\pi - \mathrm e^{-\pi}}{4 \pi} (\mathrm e^\theta + \mathrm e^{-\theta} + i (\mathrm e^\theta - \mathrm e^{-\theta})) = - \frac {\sinh(\pi)}{\pi} (\cosh(\theta) + i\sinh(\theta))</math>
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\sinh^2(\omega t + \theta)\} = - \frac {\sinh(2 \pi)}{5 \pi} (2 \cosh (2 \theta) + i\sinh (2 \theta))</math>
* [[Funzioni iperboliche|Coseno iperbolico]]:
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\cosh(\omega t + \theta)\} = - \frac {\mathrm e^\pi - \mathrm e^{-\pi}}{4 \pi} (\mathrm e^\theta + \mathrm e^{-\theta} + i (\mathrm e^\theta - \mathrm e^{-\theta})) = - \frac {\sinh (\pi)}{\pi} (\cosh (\theta) + i\sinh (\theta))</math>
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\cosh^2(\omega t + \theta)\} = - \frac {\sinh (2 \pi)}{5 \pi} (2 \cosh (2 \theta) + i\sinh (2 \theta))</math>
* [[Funzione degli errori]]:
: <math>\mathfrakmathcal{sS}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = - \frac {i}{\pi} \left[2 \operatorname{erf}\left(\frac \pi \omega\right) + \mathrm e^{-\frac {\omega^2}4}\left(\operatorname{erf}\left(\frac \pi \omega - i \frac \omega 2\right) + \operatorname{erf}\left(\frac \pi \omega + i \frac \omega 2\right)\right)\right]</math>
== Relazione con le altre trasformate ==
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