Trasformata di Steinmetz

In analisi funzionale, la trasformata di Steinmetz, il cui nome è dovuto a Charles Proteus Steinmetz, è un operatore funzionale lineare che associa a una funzione di variabile reale, una funzione di variabile complessa. Essa rientra nella categoria delle trasformate integrali.

DefinizioneModifica

Data una funzione   definita sull'insieme continuo  , si definisce sua trasformata la funzione   data da:

 

Talvolta la trasformata è indicata nella forma  , essendo   il numero di Nepero e il parametro   un numero reale.

Questa trasformata integrale trasforma le equazioni integrali e le equazioni differenziali in equazioni polinomiali, che sono più immediate da risolvere.

Anche la risposta (l'uscita) di un sistema dinamico lineare può essere calcolata come prodotto di convoluzione della sua risposta impulsiva unitaria con il segnale d'ingresso. Sviluppando questo calcolo la convoluzione diventa una moltiplicazione, che spesso rende il problema più semplice.

La trasformata di Steinmetz può anche essere usata per risolvere le equazioni differenziali.

Trasformata inversaModifica

L'inversa della trasformata di Steinmetz ' , detta antitrasformata, è la funzione:

 

dove   è la trasformata di Steinmetz. Si prova che se una funzione   ha la trasformata inversa  , ovvero   è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione:

 

allora   è univocamente determinata:

 

ProprietàModifica

 
 
 
 
 
  • Traslazione complessa:
 
 
  • Traslazione nel tempo:
 
 
dove   è la funzione a gradino unitario o funzione gradino di Heaviside.
  • Moltiplicazione per   alla n-esima potenza:
 
 
 

Teorema del valore iniziale e del valore finaleModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema dei limiti.

Analogamente a quanto si fa per la trasformata di Laplace, anche per la trasformata di Steinmetz si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale della funzione partendo dalla sua trasformata. Essi valgono per funzioni di classe  , causali (cioè nulle per t < 0) e con ascissa di convergenza  :

  • Teorema del valore iniziale:
 
  • Teorema del valore finale: se esiste  , allora:
 

Trasformata di alcune funzioni notevoliModifica

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Relazione con le altre trasformateModifica

La trasformata di Steinmetz è strettamente legata alla trasformata di Fourier. A differenza di questa però il dominio di integrazione dipende dalla variabile di trasferimento:

 

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica