Trasformata di Steinmetz

In analisi funzionale, la trasformata di Steinmetz, il cui nome è dovuto a Charles Proteus Steinmetz, è un operatore funzionale lineare che associa a una funzione $f(t)$ di variabile reale, una funzione $F(s)$ di variabile complessa. Essa rientra nella categoria delle trasformate integrali.

Definizione

Data una funzione $f(t)$ definita sull'insieme continuo $-\pi /\omega \leq t\leq \pi /\omega$, si definisce sua trasformata la funzione ${\mathcal {S}}\left\{f\right\}(\omega )$ data da:

${\mathcal {S}}\left\{f\right\}(\omega )={\frac {\omega }{\pi }}\int _{-{\frac {\pi }{\omega }}}^{\frac {\pi }{\omega }}\mathrm {e} ^{-i\omega t}f(t)\,dt.$

Talvolta la trasformata è indicata nella forma ${\mathcal {S}}\left\{f(t)\right\}$, essendo $e$ il numero di Nepero e il parametro $\omega$ un numero reale.

Questa trasformata integrale trasforma le equazioni integrali e le equazioni differenziali in equazioni polinomiali, che sono più immediate da risolvere.

Anche la risposta (l'uscita) di un sistema dinamico lineare può essere calcolata come prodotto di convoluzione della sua risposta impulsiva unitaria con il segnale d'ingresso. Sviluppando questo calcolo la convoluzione diventa una moltiplicazione, che spesso rende il problema più semplice.

La trasformata di Steinmetz può anche essere usata per risolvere le equazioni differenziali.

Trasformata inversa

L'inversa della trasformata di Steinmetz '${\mathcal {S}}^{-1}$, detta antitrasformata, è la funzione:

$f(t)={\mathcal {S}}^{-1}\left\{g\right\}(t),$

dove ${\mathcal {S}}$ è la trasformata di Steinmetz. Si prova che se una funzione $g(s)$ ha la trasformata inversa $f(t)$, ovvero $f$ è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione:

${\mathcal {S}}\{f\}(\omega )=g(\omega )$

allora $f(t)$ è univocamente determinata:

${\mathcal {S}}^{-1}\left\{g\right\}(t)=\Re {(g(\omega )\mathrm {e} ^{i\omega t})}$

Proprietà

• Linearità:

${\mathcal {S}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {S}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {S}}\left\{g(t)\right\}$

• Derivata:

${\mathcal {S}}\{f^{'}\}=i\omega {\mathcal {S}}\{f\}$

${\mathcal {S}}\{f^{''}\}=-\omega ^{2}{\mathcal {S}}\{f\}$

${\mathcal {S}}\left\{f^{(n)}\right\}=i^{n}\omega ^{n}{\mathcal {S}}\left\{f\right\}$

• Integrale:

${\mathcal {S}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}=-{i \over \omega }{\mathcal {S}}\{f(t)\}$

• Traslazione complessa:

${\mathcal {S}}\left\{e^{at}f(t)\right\}={\mathcal {S}}\left\{f\right\}(\omega -a)$

${\mathcal {S}}^{-1}\left\{{\mathcal {S}}\left\{f\right\}(s-a)\right\}=e^{at}f(t)$

• Traslazione nel tempo:

${\mathcal {S}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-a\omega }{\mathcal {S}}\left\{f\right\}(s)$

${\mathcal {S}}^{-1}\left\{e^{-as}{\mathcal {S}}\left\{f\right\}\right\}=f(t-a)u(t-a)$

dove $u(t)$ è la funzione a gradino unitario o funzione gradino di Heaviside.

• Moltiplicazione per $t$ alla n-esima potenza:

${\mathfrak {(}}-1)^{n}\ {\mathcal {S}}\{\,t^{n}f(t)\}={\frac {d^{n}}{ds^{n}}}[{\mathcal {S}}\left\{f\right\}(s)]$

• Prodotto di convoluzione:

${\mathcal {S}}\{f*g\}={\mathcal {S}}\{f\}{\mathcal {S}}\{g\}$

• Funzione periodica di periodo $p$:

${\mathcal {S}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt$

Teorema del valore iniziale e del valore finale

Analogamente a quanto si fa per la trasformata di Laplace, anche per la trasformata di Steinmetz si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale della funzione partendo dalla sua trasformata. Essi valgono per funzioni di classe $C^{1}$, causali (cioè nulle per t < 0) e con ascissa di convergenza $A<\infty$:

• Teorema del valore iniziale:

$f(0)=\lim _{t\rightarrow 0}f(t)=\lim _{\omega \rightarrow \infty }\omega \,\,{\mathcal {S}}\left\{f\right\}(\omega )$

• Teorema del valore finale: se esiste $f(\infty )$, allora:

$f(\infty )=\lim _{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim _{\omega \rightarrow 0}\omega \,\,{\mathcal {S}}\left\{f\right\}(\omega )$

Trasformata di alcune funzioni notevoli

• Retta:

${\mathcal {S}}\{\,\omega t+\theta \}=-2i$

• Delta di Dirac:

${\mathcal {S}}\{\,\delta (\omega t+\theta )\}=-{\frac {\mathrm {e} ^{-i\theta }}{\pi }}(2\Theta (\omega )-1)\Theta (\pi -\theta )\Theta (\pi +\theta )(\Theta (-\theta )-\Theta (\theta ))$

• Funzione gradino di Heaviside:

${\mathcal {S}}\{\,\Theta (t)\}={\frac {2i}{\pi }}\left(\Theta \left(-{\frac {1}{\theta }}\right)-\Theta \left({\frac {1}{\theta }}\right)\right)\qquad (\omega \neq 0)$

• Funzione esponenziale:

${\mathcal {S}}\{\,{\mathrm {e} ^{\omega t+\theta }}\}=-{\frac {\mathrm {e} ^{\pi }-\mathrm {e} ^{-\pi }}{2\pi }}(\mathrm {e} ^{\theta }+\mathrm {e} ^{-\theta }+i(\mathrm {e} ^{\theta }-\mathrm {e} ^{-\theta }))$

• Seno:

${\mathcal {S}}\{\,\sin(\omega t+\theta )\}=\mathrm {e} ^{i(\theta -{\frac {\pi }{2}})}=\sin(\theta )-i\cos(\theta )$

${\mathcal {S}}\{\,\sin ^{2}(\omega t+\theta )\}=0$

• Coseno:

${\mathcal {S}}\{\,\cos(\omega t+\theta )\}=\mathrm {e} ^{i\theta }=\cos(\theta )+i\sin(\theta )$

${\mathcal {S}}\{\,\cos ^{2}(\omega t+\theta )\}=0$

• Seno iperbolico:

${\mathcal {S}}\{\,\sinh(\omega t+\theta )\}=-{\frac {\mathrm {e} ^{\pi }-\mathrm {e} ^{-\pi }}{4\pi }}(\mathrm {e} ^{\theta }+\mathrm {e} ^{-\theta }+i(\mathrm {e} ^{\theta }-\mathrm {e} ^{-\theta }))=-{\frac {\sinh(\pi )}{\pi }}(\cosh(\theta )+i\sinh(\theta ))$

${\mathcal {S}}\{\,\sinh ^{2}(\omega t+\theta )\}=-{\frac {\sinh(2\pi )}{5\pi }}(2\cosh(2\theta )+i\sinh(2\theta ))$

• Coseno iperbolico:

${\mathcal {S}}\{\,\cosh(\omega t+\theta )\}=-{\frac {\mathrm {e} ^{\pi }-\mathrm {e} ^{-\pi }}{4\pi }}(\mathrm {e} ^{\theta }+\mathrm {e} ^{-\theta }+i(\mathrm {e} ^{\theta }-\mathrm {e} ^{-\theta }))=-{\frac {\sinh(\pi )}{\pi }}(\cosh(\theta )+i\sinh(\theta ))$

${\mathcal {S}}\{\,\cosh ^{2}(\omega t+\theta )\}=-{\frac {\sinh(2\pi )}{5\pi }}(2\cosh(2\theta )+i\sinh(2\theta ))$

• Funzione degli errori:

${\mathcal {S}}\{\,\operatorname {erf} (t)\}=-{\frac {i}{\pi }}\left[2\operatorname {erf} \left({\frac {\pi }{\omega }}\right)+\mathrm {e} ^{-{\frac {\omega ^{2}}{4}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\pi }{\omega }}-i{\frac {\omega }{2}}\right)+\operatorname {erf} \left({\frac {\pi }{\omega }}+i{\frac {\omega }{2}}\right)\right)\right]$

Relazione con le altre trasformate

La trasformata di Steinmetz è strettamente legata alla trasformata di Fourier. A differenza di questa però il dominio di integrazione dipende dalla variabile di trasferimento:

$2\omega {\mathcal {F}}\{\,f\}(\omega )={\frac {\omega }{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {e} ^{-i\omega t}f(t)\,dt$

Voci correlate

• Trasformata integrale
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Laplace
• Trasformata zeta

Collegamenti esterni

• Breve presentazione della trasformata
• Trattazione della trasformata da parte di Cristofolini dell'Università di Bologna
• Impiego nella polarizzazione elettromagnetica