Teorema dei residui: differenze tra le versioni
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Il '''teorema dei residui''' in [[analisi complessa]] è un potente strumento per calcolare gli [[integrale di linea|integrali di linea]] di [[funzione olomorfa|funzioni olomorfe]] o [[funzione meromorfa|meromorfe]] su curve chiuse. Può essere usato anche per calcolare integrali reali. Esso generalizza il [[teorema integrale di Cauchy]] e la [[formula integrale di Cauchy]].
== Enunciato ==
Sia <math>\Omega </math> un [[insieme aperto]] del [[piano complesso]] <math>\mathbb C </math>. Siano <math>z_1,\ldots,z_k </math>
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
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Se <math>f(z)</math> è una [[funzione olomorfa]] su <math>\Omega \setminus\{z_1,\ldots,z_k\} </math>, allora l'[[integrale di linea|integrale]] della funzione su <math>\gamma</math> è dato dalla:
:<math>\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n I_{z_k}(\gamma) \operatorname{Res}_{z_k}(f) </math>
2\pi i \sum_{k=1}^n I_{z_k}(\gamma) \operatorname{Res}_{z_k}(f) </math>▼
dove <math>\operatorname{Res}_{z_k}(f) </math> denota il [[residuo (analisi complessa)|residuo]] di <math>f</math> in <math>z_k </math>, e <math>I_{z_k}(\gamma)</math> è l'[[indice di avvolgimento]] della curva <math>\gamma</math> attorno a <math>z_k</math>.
</div>
L'indice di avvolgimento (o winding number) è un [[intero]] che rappresenta intuitivamente il numero di volte con cui la curva <math>\gamma</math> si avvolge attorno ad <math>z_k</math>; esso è positivo se <math>\gamma</math> gira in senso antiorario attorno a <math>z_k </math> e negativo viceversa, nullo se non circonda alcun punto singolare.
=== Dimostrazione ===
Una semplice dimostrazione è quella di considerare il dominio all'interno della curva <math>\gamma, \gamma_k</math> multiplamente connesso, dove <math>\gamma_k</math> sono le curve che circondano i punti di singolarità <math>z_k</math> percorsi ognuno con un certo verso prendiamolo positivo e quindi antiorario. Tenendo conto dei versi positivi dei percorsi, dal [[teorema integrale di Cauchy]] (generalizzato ai domini multiplamente connessi) deriva facilmente che:
:<math>\oint_{\gamma} f(\xi) \, d\xi = \sum_{k=1}^{n} \oint_{\gamma_k} f(\xi) \, d\xi</math>
ma dalla definizione di [[Residuo (analisi complessa)|residuo]] l'ultimo integrale non è altro che il residuo k-esimo, per cui:
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Da notare che l'indice di avvolgimento è necessario qualora i percorsi vengano eseguiti in sensi opposti o più di una volta.
== Somma dei residui ==
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