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Il teorema dei residui in analisi complessa è uno strumento per calcolare gli integrali di linea di funzioni olomorfe o meromorfe su curve chiuse. Può essere usato anche per calcolare integrali reali. Esso generalizza il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.

Indice

EnunciatoModifica

Sia   un insieme aperto del piano complesso  . Siano   punti di singolarità della funzione   in  . Sia inoltre   una curva semplice chiusa in   tale che   sia contenuto nel sottoinsieme limitato di   delimitato da  .

Se   è una funzione olomorfa su  , allora l'integrale della funzione su   è dato dalla:

 

dove   denota il residuo di   in  , e   è l'indice di avvolgimento della curva   attorno a  .

L'indice di avvolgimento (o winding number) è un intero che rappresenta intuitivamente il numero di volte con cui la curva   si avvolge attorno ad  ; esso è positivo se   gira in senso antiorario attorno a   e negativo viceversa, nullo se non circonda alcun punto singolare.

DimostrazioneModifica

Si consideri il dominio all'interno della curva  . Si considerino   multiplamente connesso, dove   sono le curve che circondano i punti di singolarità   percorsi in senso antiorario. Tenendo conto dei versi positivi dei percorsi, dal teorema integrale di Cauchy (generalizzato ai domini multiplamente connessi) deriva facilmente che:

 

ma dalla definizione di residuo l'ultimo integrale non è altro che il residuo  -esimo, per cui:

 

Da notare che l'indice di avvolgimento è necessario qualora i percorsi vengano eseguiti in sensi opposti o più di una volta.

Somma dei residuiModifica

Nel caso in cui   sia il piano complesso, il teorema dei residui ha come applicazione il fatto seguente.

Sia

 

una funzione olomorfa. La somma dei residui nei punti   è sempre zero. In altre parole:

 

dove   è il residuo all'infinito di  .

LemmiModifica

Per risolvere praticamente gli integrali in forma complessa, sono necessari alcuni lemmi aggiuntivi che permettono di semplificare e risolvere gli integrali stessi.

Voci correlateModifica