Teorema dei residui

In analisi complessa, il teorema dei residui è uno strumento per calcolare gli integrali di contorno di funzioni olomorfe o meromorfe su curve chiuse. Può essere usato anche per calcolare integrali reali. Esso generalizza il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.

Enunciato

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Sia   un insieme aperto del piano complesso  . Siano   punti di singolarità della funzione   in  . Sia inoltre   una curva semplice chiusa in   tale che   sia contenuto nel sottoinsieme limitato di   delimitato da  .

Se   è una funzione olomorfa su  , allora l'integrale della funzione su   è dato dalla:

 

dove   denota il residuo di   in  , e   è l'indice di avvolgimento della curva   attorno a  .

L'indice di avvolgimento è un intero che rappresenta intuitivamente il numero di volte con cui la curva   si avvolge attorno ad  ; esso è positivo se   gira in senso antiorario attorno a   e negativo viceversa, nullo se non circonda alcun punto singolare.

Dimostrazione

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Si consideri il dominio all'interno della curva  . Si considerino   multiplamente connesso, dove   sono le curve che circondano i punti di singolarità   percorsi in senso antiorario. Tenendo conto dei versi positivi dei percorsi, dal teorema integrale di Cauchy (generalizzato ai domini multiplamente connessi) deriva facilmente che:

 

ma dalla definizione di residuo l'ultimo integrale non è altro che il residuo  -esimo, per cui:

 

Da notare che l'indice di avvolgimento è necessario qualora i percorsi vengano eseguiti in sensi opposti o più di una volta.

Somma dei residui

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Nel caso in cui   sia il piano complesso, il teorema dei residui ha come applicazione il fatto seguente.

Sia

 

una funzione olomorfa. La somma dei residui nei punti   è sempre zero. In altre parole:

 

dove   è il residuo all'infinito di  .

Per risolvere praticamente gli integrali in forma complessa, sono necessari alcuni lemmi aggiuntivi che permettono di semplificare e risolvere gli integrali stessi.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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