Combinazione lineare: differenze tra le versioni

L'insieme di tutte le combinazioni lineari di un dato insieme ''S'' di vettori, finito o infinito, formano un [[sottospazio vettoriale]], detto '''sottospazio generato''' da ''S'' o '''span lineare''' di ''S''. Questo fatto consente di restringere a opportuni sottospazi le considerazioni che riguardano vettori particolari e che si avvalgono solo delle loro caratteristiche algebriche (in pratica questo può corrispondecorrispondere ad una riduzione del numero delle dimensioni nelle quali si opera). I vantaggi di una tale circoscrizione dell'ambito dello studio si riscontrano per le sottostrutture di ogni specie di struttura algebrica (sottogruppi per la specie dei [[gruppo (matematica)|gruppi]], sottoanelli per la specie degli [[anello (algebra)|anelli]], ... ). Da tali vantaggi nasce l'importanza della nozione di [[sottostruttura]].

Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] su un [[campo (matematica)|campo]] <math>K</math>. SianoConsideriamo poi un insieme <math>S = \{v_1,\ldots,v_n\}</math> alcunidi vettori di <math> V </math>. Una '''combinazione lineare''' di questi è il vettore individuato dalla seguente scrittura

non determina univocamente la combinazione lineare, cioè la sequenza dei suoi coefficienti: per molte scelte deidi <math>v_i</math>''S'' lo stesso <math>v</math> può essere il risultato di combinazioni lineari differenti degli stessi vettori di partenza <math> v_1,\ldots, v_n</math>.

I vettori <math>v</math> che si ottengono come combinazioni lineari di <math>n</math> vettori fissati, al variare degli scalari <math>a_1,\ldots, a_n</math>, formano un [[sottospazio vettoriale]] di <math>V</math>. Infatti ogni combinazione lineare di combinazioni lineari di dati vettori si puo` esprimere come una combinazione lineare degli stessi vettori. Il sottospazio ottenuto con le combinazioni lineari dei vettori di <math>S = \{v_1,\ldots,v_n\}</math> viene indicato con

e viene detto '''sottospazio generato''' da ''S'' o '''span lineare''' di ''S''.

Dati un sottospazio <math> W </math> di <math>V</math> ed un insieme di vettori <math>v_1,\ldots, v_n</math>, si dice che questi vettori sono dei [[insieme di generatori|generatori]] perdi <math> W </math> se

indicizzata da una <math>i </math> che varia in un insieme <math> I </math> di [[cardinalità]] arbitraria (finita, numerabile, ...): una combinazione lineare è semplicemente una combinazione frache si serve di un numero finito di questi, ed il sottospazio generato è sempre definito come l'insieme dei risultati di tali composizioni.

è il sottospazio vettoriale più piccolo fra tutti quelli che contengono i vettori <math>v_1,\ldots,v_k</math>. Più precisamente, èsi puo` esprimere come l'intersezione di tutti i sottospazi contenenti questi vettori. Lo stesso risultato vale per un insieme infinito di vettori.

In particolare, se <math>S = \{v_1,\ldots,v_n\} </math> e <math>T=\{v_1,\ldots,v_n, v_{n+1}\} </math> è ottenuto da <math>S</math> aggiungendo un vettore <math>v_{n+1} </math>, il sottospazio generato può restare invariato o diventare più grandeesteso. Come mostra la relazione seguente, il sottospazio resta invariato se e solo se il vettore <math>v_{n+1}</math> è già contenuto in questo: