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Combinazione lineare

operazione di algebra lineare

In matematica, una combinazione lineare è un'operazione principalmente usata nell'ambito dell'algebra lineare. Una combinazione lineare di alcuni elementi di uno spazio vettoriale è un'espressione del tipo:[1]

dove i sono elementi dello spazio vettoriale e gli sono scalari. Il risultato di questa combinazione è un nuovo elemento dello spazio. Questa nozione molto generale si applica in vari contesti: si possono scrivere ad esempio combinazioni lineari di vettori nel piano o nello spazio, di matrici, di polinomi o di funzioni.

Indice

DefinizioniModifica

Combinazione lineareModifica

Sia   uno spazio vettoriale su un campo  . Siano   vettori di  . Una combinazione lineare di questi è il vettore individuato dalla seguente scrittura:

 

dove   sono scalari, cioè elementi di  . Gli scalari nella precedente espressione possono essere scelti ad arbitrio e sono detti coefficienti della combinazione lineare.

Combinazione affine e convessaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Combinazione convessa.

Se il campo   è il campo   dei numeri reali e i coefficienti sono tutti non-negativi, cioè:

 

per ogni  , la combinazione è chiamata positiva.

Quando i coefficienti hanno come somma 1:

 

la combinazione è detta affine. Una combinazione lineare sia positiva che affine è detta combinazione convessa. Entrambe queste nozioni sono utili in geometria affine, per definire le nozioni di coordinate affini e coordinate baricentriche.

ProprietàModifica

Unicità della combinazioneModifica

In genere, cioè per una generica scelta dei vettori  , il vettore:

 

non determina univocamente la combinazione lineare, cioè la sequenza dei suoi coefficienti: lo stesso   può essere il risultato di combinazioni lineari differenti degli stessi vettori  .

Se i vettori sono indipendenti, la combinazione lineare è però unica.

Sottospazio generatoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sottospazio generato.

I vettori   che si ottengono come combinazioni lineari di   vettori fissati, al variare degli scalari  , formano un sottospazio vettoriale di  , chiamato sottospazio generato. Si indica generalmente con:

 

GeneralizzazioniModifica

Le definizioni di combinazione lineare e span lineare possono essere generalizzate dagli spazi vettoriali ai moduli o agli anelli. Ad esempio, si può parlare di combinazione lineare   di due numeri interi   e  , dove   e   sono coefficienti interi.

NoteModifica

  1. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Linear Combination, in MathWorld, Wolfram Research.

BibliografiaModifica

  • (EN) David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, 3rd, Addison–Wesley, 2006, ISBN 0-321-28713-4.
  • (EN) Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4th, Brooks Cole, 2006, ISBN 0-03-010567-6.
  • (EN) Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 2nd, Springer, 2002, ISBN 0-387-98258-2.

Voci correlateModifica