Spazio tangente: differenze tra le versioni

Sia <math>VM</math> una varietà <math>C^\infty</math>. L'insieme delle funzioni infinitamente differenziabili su <math>VM</math> è definito da

:<math>C^\infty(VM) = \left \{ g :\, V \rightarrow \mathbb{R} \mid g \circ \phi^{-1} \mbox{ infinitamente differenziabile per ogni carta } \phi :\, U \rightarrow \mathbb{R}^n \right \},</math>,

e possiede launa struttura di [[algebra su campo|algebra associativa]] reale, con somma e prodotto di funzioni definiti come segue:

: <math>

(f + g) (x) & = & f(x) + g(x), \\

(fg) (x) & = & f(x) g(x).

</math>.

Scelto un punto <math>px</math> in <math> VM</math>, una ''derivazione'' in <math>px</math> è una [[funzione lineare]]

tale che per ogni <math>g, h </math> in <math>C^\infty(M)</math> valevalga la relazione (analoga della [[regola di Leibniz]])

: <math>D(gh) = D(g) \cdot h(p) + g(p) \cdot D(h).</math>.

L'insieme delle derivazioni è uno [[spazio vettoriale]] chiamato ''spazio tangente''; e indicato con <math>T_x(M)</math>.

La relazione fra questa definizione estendee la precedente inè quantola dataseguente: una curva <math>\gamma</math> di vettore tangente <math>\gamma' (0)</math>, questa individua la derivazione

:<math>D(g) = (g \circ \gamma)^\prime (0).</math>.