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Il piano tangente in un punto di una sfera. Lo spazio tangente generalizza tale concetto a varietà di dimensioni arbitrarie.

Lo spazio tangente di una varietà è un ente che consente la generalizzazione del concetto di piano tangente ad una superficie e l'estensione della definizione di vettore dagli spazi affini ad una qualunque varietà.

Intuitivamente, il concetto di spazio tangente si presenta in topologia differenziale come lo spazio formato da tutte le possibili direzioni delle curve che passano attraverso un punto di una varietà differenziabile. La dimensione dello spazio tangente è uguale a quella della varietà considerata.

La definizione di spazio tangente può essere generalizzata anche a strutture come le varietà algebriche, dove la dimensione dello spazio tangente è almeno pari a quella della varietà. I punti in cui le due dimensioni coincidono sono detti non singolari, gli altri singolari. Ad esempio, una curva intrecciata possiede più di una tangente nei suoi nodi.

Gli spazi tangenti di una varietà possono essere "incollati" insieme per formare il fibrato tangente, una nuova varietà di dimensione doppia rispetto alla varietà originale.

Indice

DefinizioneModifica

Esistono numerose definizioni equivalenti per lo spazio tangente di una varietà, che partono da quelle più intuitive e vicine al concetto di piano tangente ad una superficie, per arrivare a quelle più astratte, che presentano maggiore generalità.

Varietà immerseModifica

 
Lo spazio tangente è lo spazio di tutti i vettori tangenti alle curve passanti per il punto.

Sia   una varietà differenziabile contenuta in uno spazio euclideo  . Lo spazio tangente ad un punto   è lo spazio formato dai vettori tangenti a tutte le curve in   passanti per  . Più formalmente, è lo spazio formato da tutti i vettori

 

al variare di   fra le curve differenziabili

 

definite per qualche  , aventi immagine in   e con  . Qui   indica la tangente di  , ovvero il vettore delle sue derivate.

Lo spazio tangente a   viene solitamente indicato con

 

Definizione tramite direzioni delle curveModifica

La definizione appena data può essere estesa in modo opportuno ad una varietà differenziabile   astratta, definita cioè in modo più intrinseco come spazio topologico dotato di carte in   e funzioni di transizione differenziabili, di classe   con  .

Sia   un punto della varietà e

 

una carta definita in un aperto   che contiene  .

Siano

 

due curve differenziabili, cioè tali che   e   siano derivabili in 0. Le curve   e   sono dette tangenti in 0 se coincidono in 0 e coincidono anche le loro derivate attraverso la carta  :

 

La tangenza tra curve è una relazione di equivalenza; le classi di equivalenza sono chiamate vettori tangenti della varietà   nel punto   e vengono scritte come  . L'insieme di tutti i vettori tangenti non dipende dalla carta   ed è chiamato spazio tangente a   nel punto  .

Ciascun vettore tangente rappresenta la direzione di una curva passante per  .

Definizione tramite derivazioniModifica

Sia   una varietà differenziabile. L'insieme delle funzioni infinitamente differenziabili su   è definito da

 

e possiede una struttura di algebra associativa reale, con somma e prodotto di funzioni definiti come segue:

 

Scelto un punto   in  , una derivazione in   è una funzione lineare

 

tale che per ogni   in   valga la relazione (analoga della regola di Leibnitz)

 

L'insieme delle derivazioni è uno spazio vettoriale chiamato spazio tangente e indicato con  .

La relazione fra questa definizione e la precedente è la seguente: una curva   di vettore tangente   individua la derivazione

 

D'altra parte, ogni derivazione è individuata da una curva opportuna.

Definizione tramite spazio cotangenteModifica

Sia   una varietà   e   un punto di  . Le funzioni in   che si annullano in   costituiscono un ideale dell'anello  .

Gli ideali   e   sono inoltre spazi vettoriali, e il loro quoziente   è lo spazio cotangente di   in  . Il duale di questo spazio è definito come spazio tangente di   in  .

Questa definizione più astratta può facilmente essere estesa a strutture quali le varietà algebriche. La relazione con la precedente definizione è la seguente: data una derivazione   e una funzione   in  , dalla regola del prodotto si ricava facilmente[1]  . Segue allora che   genera in maniera naturale una funzione lineare da   in  .

Viceversa, una funzione lineare

 

determina la derivazione

 

Derivata di una mappaModifica

Una applicazione differenziabile (detta anche mappa) tra varietà   induce una applicazione lineare tra i corrispondenti spazi tangenti:

 

dove la prima definizione è valida per spazi tangenti definiti tramite direzione delle curve, la seconda per spazi tangenti definiti tramite derivazioni.

La mappa   (scritta anche come  ,  ,  ,  ) è detta differenziale o mappa tangente[2] di   in  , e rappresenta la miglior approssimazione lineare di   nei dintorni di  . Nelle coordinate locali determinate da una carta, la derivata di   si può rappresentare con il suo jacobiano. Se  , la definizione data coincide con quella usuale di differenziale.

Vale inoltre il seguente teorema, che è un'estensione del teorema della funzione inversa tra varietà: se   è un diffeomorfismo locale di varietà nel punto   di  , allora il differenziale   è un isomorfismo tra i corrispondenti spazi tangenti. Viceversa, se   è un isomorfismo, esiste un intorno aperto di   che viene mappato diffeomorficamente da   su  .

Applicazioni degli spazi tangentiModifica

L'introduzione degli spazi tangenti consente di definire molte altre strutture sulla varietà; ad esempio è possibile definire campi vettoriali, che rappresentano l'astrazione dei campi di velocità di particelle in movimento sulla varietà. Tramite i campi vettoriali è possibile associare un vettore ad ogni punto della varietà, permettendo ad esempio la definizione di equazioni differenziali sulla varietà, le cui soluzioni sono curve differenziabili la cui derivata è punto per punto uguale al vettore facente parte del campo vettoriale.

Vettori tangenti come derivate direzionaliModifica

Dato un vettore   in  , la derivata direzionale di una mappa   è:

 

La mappa sopra definita è una derivazione; inoltre, si può dimostrare che ogni derivazione di   può essere messa in questa forma, per cui esiste una corrispondenza biunivoca tra derivazioni e vettori, intesi come vettori tangenti in un punto.

È possibile estendere questa corrispondenza anche ad una varietà qualsiasi: se   è un vettore tangente ad una varietà   nel suo punto  , possiamo definire la derivata direzionale nella direzione data da   come

 ,

dove   e   è la direzione della curva  .

NoteModifica

  1. ^ Dimostrazione: poiché   è in  ,   con   e dalla regola del prodotto si ricava  .
  2. ^ I. Kolář, P. Michor, J. Slovák,  p. 8.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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