Algebra di Banach: differenze tra le versioni
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In [[matematica]] e specialmente in [[analisi funzionale]] un''''algebra di Banach''', dal nome del matematico [[Stefan Banach]], è un'[[algebra associativa]] ''A'' sui [[numero reale|numeri reali]] o sui [[numero complesso|numeri complessi]] che è anche uno [[spazio di Banach]]. L'algebra della moltiplicazione e lo spazio normato di Banach devono essere collegati dalla seguente diseguaglianza:
:<math> \forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq \|x \| \, \| y\| </math>
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Questo assicura che l'operazione di moltiplicazione è una [[funzione continua]].
Se si sostituisce lo [[spazio di
Un'algebra di Banach è detta "unital" se ha un [[elemento identità]] per l'operazione di moltiplicazione la cui norma è 1, e "commutativa" se la sua moltiplicazione è [[commutativa]].
Le algebre di Banach possono essere definite anche su campi di [[numeri p-adici
== Esempi ==
* L'insieme
* L'insieme di tutte le [[matrice|matrici]] reali o complesse ''n'' per ''n'' è un'algebra di Banach se gli si associa una norma.
* L'insieme di tutte le [[matrice (matematica)|matrici]] reali o complesse ''n'' x ''n'' diventa un'algebra di Banach [[unital]] se
* Si ottiene un'algebra di Banach partendo dallo spazio di Banach '''R'''<sup>''n''</sup> (o '''C'''<sup>''n''</sup>) con norma ||''x''|| = max |''x''<sub>''i''</sub>| e definendo la moltiplicazione componente per componente: (''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>)(''y''<sub>1</sub>,...,''y''<sub>''n''</sub>) = (''x''<sub>1</sub>''y''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>''y''<sub>''n''</sub>).
* I [[quaternioni]] formano un'algebra di Banach reale 4-dimensionale, con la norma data dal valore assoluto del quaternione.
* L'algebra di tutti le funzioni limitate (a valori reali o complessi) definite su un qualsiasi insieme (con la moltiplicazione puntuale e la norma dell'[[estremo superiore]]) è un'algebra di Banach "unital".
* L'algebra di tutte le funzioni continue limitate a valori reali o complessi su uno [[spazio localmente compatto]] (con l'operazione di moltiplicazione definita puntualmente e la norma dell'estremo superiore) è un'algebra di Banach.
* Ogni [[C*-algebra]] è un'algebra di Banach.
*
* Gli operatori lineari continui su uno [[spazio di Hilbert]] formano una C*-algebra e quindi un'algebra di Banach.
* Se ''G'' è un [[gruppo topologico]] su uno [[spazio di Hausdorff]] [[localmente compatto]] e μ la sua [[misura di Haar]], allora lo spazio di Banach L<sup>1</sup>(''G'') di tutte le funzioni μ-integrabili su ''G'' diventa un'algebra di Banach rispetto alla [[convoluzione]] ''xy''(''g'') = ∫ ''x''(''h'') ''y''(''h''<sup>-1</sup>''g'') dμ(''h'') per ''x'', ''y'' in L<sup>1</sup>(''G'').
== Proprietà ==
Molte [[elenco di funzioni|funzioni elementari]] che sono definite attraverso [[serie di potenze]] possono essere definite in ogni algebra di Banach unital; gli esempi includono la [[funzione esponenziale]] e le [[funzioni trigonometriche]]. La formula per le [[serie geometriche]] e il [[teorema binomiale]] anche resta valida in ogni algebra di Banach unital.
L'insieme degli [[elementi invertibili]] in ogni algebra di Banach unital è un [[insieme aperto]], e l'operazione di inversione è continua su questo insieme, cosicché forma un [[gruppo topologico]] rispetto alla moltiplicazione.
Le algebre di Banach unital forniscono uno strumento ideale per lo studio della teoria spettrale generale. Lo ''spettro'' di un elemento ''x'' è formato da tutti quegli [[scalare|scalari]] λ tali che ''x'' -λ1 non è invertibile. (Nell'algebra di Banach di tutte le matrici ''n''x''n'' su menzionate, lo spettro di una matrice coincide con l'insieme di tutti i suoi [[autovalori]].) Lo spettro di ogni elemento è uno [[spazio compatto]]. Se il campo
Le varie algebre di funzioni considerate negli esempi precedenti hanno proprietà molto diverse dagli esempi standard di algebre come quella formata dai reali. Ad esempio:
* Ogni algebra di Banach reale che èun'[[algebra con divisione]] è isomorfa ai reali, ai complessi, o ai quaternioni. Ne segue che la sola algebra di Banach complessa che è un'algebra con divisione è l'algebra dei complessi.
* Ogni algebra di Banach reale unital senza [[divisori dello zero]] e nella quale ogni [[ideale principale]] è [[chiuso]], è isomorfa ai reali, ai complessi, o ai quaternioni.
* Ogni algebra di Banach reale commutativa [[anello noetheriano|noetheriana]] senza divisori dello zero è isomorfa ai reali o ai complessi.
* Ogni algebra di Banach reale commutativa noetheriana unital (eventualmente con divisori dello zero) è a dimensioni finite.
▲Le algebre di Banach unital forniscono uno strumento ideale per lo studio della teoria spettrale generale. Lo ''spettro'' di un elemento ''x'' è formato da tutti quegli [[scalare|scalari]] λ tali che ''x'' -λ1 non è invertibile. (Nell'algebra di Banach di tutte le matrici ''n''x''n'' su menzionate, lo spettro di una matrice coincide con l'insieme di tutti i suoi [[autovalori]].) Lo spettro di ogni elemento è uno [[spazio compatto]]. Se il campo di appoggio dell'algebra è il campo dei [[numeri complessi]], allora lo spettro di ogni elemento è non-vuoto.
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