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==Definizioni==
=== Combinazione lineare ===
Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] su un [[campo (matematica)|campo]] <math>K</math>. Consideriamo poi un insiemeSiano <math>S = \{v_1,\ldots,v_n\}</math> di vettori di <math> V </math>. Una '''combinazione lineare''' di questi è il vettore individuato dalla seguente scrittura
:<math> a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n </math>
dove <math>a_1,\ldots,a_n</math> sono scalari, cioè elementi di <math>K</math>. Gli scalari nella precedente espressione possono essere scelti ad arbitrio e sono detti '''coefficienti''' della combinazione lineare.
=== Combinazione affine e convessa ===
{{vedi anche|Combinazione convessa}}
Se il campo <math>K</math> è il campo <math>\R</math> dei [[numeri reali]] e i coefficienti sono tutti non-negativi, cioè
:<math> a_i \ {v_i\}_{i\ingeq I}0 </math> ▼Quandoper ogni <math> a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1i</math>, la combinazione siè dicechiamata ''' affinepositiva'''. ▼
Quando i coefficienti hanno come somma 1:
:<math>a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1</math>
la combinazione è detta '''affine'''. Una combinazione lineare sia positiva che affine è detta [[combinazione convessa]]. Entrambe queste nozioni sono utili in [[geometria affine]], per definire le nozioni di [[coordinate affini]] e [[coordinate baricentriche]].
=== Unicità della combinazione ===
In genere, cioè per una generica scelta dei vettori <math>v_i</math>, il vettore
:<math> v = a_1v_1+\ldots a_nv_n. \,\!</math>
non determina univocamente la combinazione lineare, cioè la sequenza dei suoi coefficienti: per molte scelte di ''S'' lo stesso <math>v</math> può essere il risultato di combinazioni lineari differenti degli stessi vettori <math> v_1,\ldots, v_n</math>.
QuandoSe <math>a_ii \geqvettori 0</math>sono per[[indipendenza ogni ''i''lineare|indipendenti]], la combinazione silineare è diceperò '''positiva'''unica.
▲Quando <math>a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1</math>, la combinazione si dice '''affine'''.
Una combinazione lineare sia positiva che affine si dice '''[[combinazione convessa]]'''.
=== Sottospazio generato ===
{{vedi anche|Sottospazio generato}}
I vettori <math>v</math> che si ottengono come combinazioni lineari di <math>n</math> vettori fissati, al variare degli scalari <math>a_1,\ldots, a_n</math>, formano un [[sottospazio vettoriale]] di <math>V</math>., Infattichiamato ogni[[sottospazio combinazione lineare di combinazioni lineari di dati vettori si può esprimere come una combinazione lineare degli stessi vettorigenerato]]. Il sottospazio ottenuto con le combinazioni lineari dei vettori di <math>S = \{v_1,\ldots,v_n\}</math>Si vieneindica indicatogeneralmente con:
:<math> \mathrm{Span}( v_1 ,\ldots, v_n) := \{ a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n \ |\ a_1 ,\ldots, a_n \in K \} \,\!</math>
e viene detto '''sottospazio generato''' da ''S'' o '''span lineare''' di ''S''.
Dati un sottospazio <math> W </math> di <math>V</math> ed un insieme di vettori <math>v_1,\ldots, v_n</math>, si dice che questi vettori sono dei [[insieme di generatori|generatori]] di <math> W </math> se
:<math> W = \mathrm{Span}( v_1 ,\ldots, v_n).\,\! </math>
Tutte le definizioni date possono essere estese facilmente ad una famiglia qualsiasi di vettori
▲:<math>\{v_i\}_{i\in I} </math>
indicizzata da una <math>i </math> che varia in un insieme <math> I </math> di [[cardinalità]] arbitraria (finita, numerabile, ...): una combinazione lineare è semplicemente una combinazione che si serve di un numero finito di questi, ed il sottospazio generato è sempre definito come l'insieme dei risultati di tali composizioni.
=== Sottospazio più piccolo ===
Il sottospazio generato
:<math>{\rm Span}(v_1,\ldots,v_n)\,\!</math>
è il sottospazio vettoriale più piccolo fra tutti quelli che contengono i vettori <math>v_1,\ldots,v_k</math>. Più precisamente, si può esprimere come intersezione di tutti i sottospazi contenenti questi vettori. Lo stesso risultato vale per un insieme infinito di vettori.
=== Sottospazio e generatori ===
La trasformazione di un insieme di vettori di ''V'' nel sottospazio da loro generato, cioè la funzione Span, costituisce un esempio di funzione di [[chiusura]]. Come per tutte queste funzioni di insieme, vale la seguente proprietà di [[isotonia]]: se <math>S</math> e <math>T</math> sono insiemi di vettori di <math>V</math> tali che <math>S\subset T </math>, allora
:<math>{\rm Span}(S)\subseteq{\rm Span}(T). </math>
In particolare, se <math>S = \{v_1,\ldots,v_n\} </math> e <math>T=\{v_1,\ldots,v_n, v_{n+1}\} </math> è ottenuto da <math>S</math> aggiungendo un vettore <math>v_{n+1} </math>, il sottospazio generato può restare invariato o diventare più esteso. Come mostra la relazione seguente, il sottospazio resta invariato se e solo se il vettore <math>v_{n+1}</math> è già contenuto in questo:
:<math> \textrm{Span}(v_1, \ldots, v_{n+1}) = \textrm{Span} (v_1, \ldots, v_n) \Longleftrightarrow v_{n+1} \in \textrm{Span}(v_1, \ldots, v_n). </math>
=== Basi e dimensione ===
{{vedi anche|base (algebra lineare)}}
Un insieme di vettori è una [[base (algebra lineare)|base]] del sottospazio che genera se e solo se questi sono [[linearmente indipendenti]]. Se i vettori non sono indipendenti, esiste un loro sottoinsieme formato da vettori indipendenti: un sottoinsieme di questo tipo può essere trovato tramite l'[[algoritmo di estrazione di una base]].
Da quanto appena detto segue quindi che la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] di un sottospazio generato da <math> n </math> vettori è al più <math>n</math>, ed è proprio <math> n </math> se e solo se questi sono indipendenti.
==Esempi==
* In <math>\R^2</math>, i vettori <math>(1,2)</math> e <math>(2,4)</math> non sono indipendenti. Il loro span quindi ha dimensione minore di due, e infatti è una [[retta]]. Formalmente scriviamo <math>Span \{(1,2), (2,4)\} = Span \{(1,2)\}</math>. I vettori <math>(1,2)</math> e <math>(2,1)</math> invece sono indipendenti, e perciò il loro span è uno spazio di dimensione 2 dentro <math>\R^2</math>: uno spazio di dimensione <math>n</math> ha solo sé stesso come sottospazio di dimensione <math>n</math>, e perciò <math>Span{(1,2), (2,1)} = \R^2</math>.
* In <math>\R^3</math>, i vettori <math>(1,2,3)</math>, <math>(4,-2,1)</math>, <math>(3,-4,-2)</math> sono dipendenti, perché l'ultimo è la differenza dei primi due. Abbiamo quindi <math>Span \{(1,2,3), (4,-2,1), (3,-4,-2)\} = Span\{(1,2,3), (4,-2,1)\}</math>, e poiché questi due vettori sono indipendenti, sono una base del loro span che ha dimensione 2, ovvero è un [[Piano (geometria)|piano]].
== Generalizzazioni ==
== Voci correlate ==
* [[Sottospazio vettorialegenerato]]
* [[Dipendenza lineare]]
* [[Dimensione (spazio vettoriale)|dimensioneDimensione]]
* [[Estrazione di una base]]
* [[Combinazione lineare di orbitali atomici]]
* [[Combinazione convessa]]
* [[Insieme di generatori]]
{{Portale|matematica}}
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