Spazio affine: differenze tra le versioni

== Definizione ==

La nozione di spazio affine può essere definita in molti modi equivalenti. Una possibile definizione è la seguente.

:<math> \phi: A \times A \to V\,\! </math>

a valori in uno [[spazio vettoriale]] <math>V</math> su un [[campo (matematica)|campo]] <math>K</math> che soddisfi i requisiti seguenti:

# per ogni punto <math> P </math> fissato, la mappa che associa a <math> Q </math> il vettore <math>\phi(P,Q)</math> è una [[biiezione]] da <math>A</math> in <math>V</math>;

# per ogni terna di punti <math> P </math>, <math>Q</math>, <math>R</math> vale la relazione

 

=== Definizione alternativa ===

:<math>f:A\times V \to A\,\! </math>

dove <math>V</math> è uno spazio vettoriale su un campo <math>K</math>, generalmente indicata con il segno + nel modo seguente

:<math>f(P,v) = P + v \,\!</math>

tale che

# per ogni punto <math> P </math> fissato, la mappa che associa al vettore <math>v</math> il punto <math>P+v</math> è una biiezione da <math>V</math> in <math>A</math>;

# per ogni punto <math> P</math> in <math>A</math> e ogni coppia di vettori <math>v, w </math> in <math>V</math> vale la relazione