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Nell'approccio algebrico, lo spazio affine è una struttura matematica strettamente collegata a quella di spazio vettoriale. Intuitivamente, uno spazio affine si ottiene da uno spazio vettoriale facendo in modo che tra i suoi punti non ve ne sia uno, l'origine, "centrale" e "privilegiato" rispetto agli altri.

Lo spazio affine tridimensionale è lo strumento naturale per modellizzare lo spazio della fisica classica, le cui leggi sono infatti indipendenti dalla scelta di un sistema di riferimento. Come gli spazi vettoriali, gli spazi affini vengono studiati con gli strumenti dell'algebra lineare.

Indice

DefinizioneModifica

La nozione di spazio affine può essere definita in molti modi equivalenti. Una delle più comuni è la seguente:[1] sia   insieme e sia   funzione a valori in un  -spazio vettoriale  .

  viene detto spazio affine se valgono i seguenti fatti:

  1. per ogni punto   fissato, l'applicazione che associa a   il vettore   è una biiezione da   in  ;
  2. per ogni terna di punti  ,  ,   vale la relazione di Chasles:
     

Gli elementi di   vengono chiamati punti affini (o semplicemente punti) mentre l'immagine   è chiamata vettore applicato da   in   ed è indicata generalmente con il simbolo  .

Definizione alternativaModifica

La definizione seguente è equivalente alla precedente.[2]

Uno spazio affine   è un insieme dotato di una funzione

 

dove   è uno spazio vettoriale su un campo  , generalmente indicata con il segno + nel modo seguente

 

tale che

  1. per ogni punto   fissato, l'applicazione che associa al vettore   il punto   è una biiezione da   in  ;
  2. per ogni punto   in   e ogni coppia di vettori   in   vale la relazione
     

Le due definizioni sono collegate dalla relazione

 

Due elementi di questa relazione determinano il terzo. Ad esempio,   è il punto raggiunto applicando il vettore   a  , mentre   è l'unico vettore che "collega" i due punti   e  .

EsempiModifica

Spazio vettorialeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio vettoriale.

Ogni spazio vettoriale   è esso stesso uno spazio affine, avente come spazio vettoriale associato   stesso.

  con la mappa   definita come

 

Mentre nella definizione alternativa la funzione   è la semplice somma fra vettori in  .

Prime proprietàModifica

Sia   uno spazio affine associato a    -spazio vettoriale.

  •  
  •  

Riferimento affineModifica

Come per gli spazi vettoriali dove è possibile avere una base dello spazio, in uno spazio affine   si può considerare un riferimento affine, ovvero un insieme di punti   dello spazio affinemente indipendenti tali che la loro combinazione affine generi tutto lo spazio, ovvero  .

Sottospazi affiniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sottospazio affine.

Sia   uno spazio affine associato a    -spazio vettoriale.

Un sottoinsieme   si dice sottospazio affine se   induce uno spazio affine, ossia se   è un sottospazio vettoriale di  .

Si dimostra inoltre che   è un sottospazio affine se e solo se è chiuso per combinazioni affini.

Un sottospazio affine   di   è un sottoinsieme rappresentabile come:

 

dove   è un punto fissato di   e   è un sottospazio vettoriale di  .

GiacituraModifica

Lo stesso sottospazio può essere definito in varie forme diverse come  .

In tutte queste rappresentazioni,   può variare (può essere un punto qualsiasi di  , a conferma che in geometria affine non ci sono "punti privilegiati"), ma   risulta essere sempre lo stesso: questo sottospazio di   è chiamato giacitura (o spazio direttore) di  

La giacitura è definita intrinsecamente come

 

La dimensione di   è definita come la dimensione di  

Sottospazio generatoModifica

Il sottospazio affine generato da alcuni punti   in   è il più piccolo sottospazio che li contiene.

RelazioniModifica

Due sottospazi affini   sono detti:

  • incidenti se  
  • paralleli se   oppure  
  • sghembi se   e  
  • esiste un altro caso che si presenta solo in spazi affini di dimensione 4 o superiore, ovvero quando i due sottospazi hanno intersezione vuota, nessuna delle due giaciture è contenuta nell'altra ma queste si intersecano in un sottospazio più grande dell'origine.

Sottospazi affini in spazi vettorialiModifica

Per quanto detto sopra, uno spazio vettoriale   è anche affine, e quindi si è definita anche la nozione di sottospazio affine di  : in questo caso, un sottospazio affine è il risultato di una traslazione di un sottospazio vettoriale   lungo il vettore  .

Formula di GrassmannModifica

Per i sottospazi affini non vale la formula di Grassmann: questo è il prezzo da pagare per aver liberato i sottospazi dalla costrizione di passare per un punto privilegiato. La geometria proiettiva risolve questo problema (cioè recupera la formula di Grassmann) aggiungendo allo spazio dei "punti all'infinito".

NoteModifica

  1. ^ Sernesi, p. 93.
  2. ^ Sernesi, p. 102.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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