Spazio separabile: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], e più precisamente in [[topologia]], uno [[spazio topologico]] è '''separabile''' se contiene un sottoinsieme [[numerabile]] e [[insieme denso|denso]].
Allo stesso modo in cui i numeri reali possono essere approssimati, con la precisione desiderata, con numeri razionali, così uno spazio separabile possiede sottoinsiemi numerabili, tramite i quali ci si può avvicinare quanto si vuole ad ogni suo elemento, nel senso di un limite matematico.▼
Gli spazi usati generalmente in [[analisi matematica]] e in [[geometria]] sono separabili: ad esempio la [[retta reale]] è separabile, perché contiene i [[numeri razionali]], che sono un sottoinsieme denso e numerabile.
▲Allo stesso modo in cui i numeri reali possono essere approssimati, con la precisione desiderata, con numeri razionali, così uno spazio separabile possiede sottoinsiemi numerabili, tramite i quali ci si può avvicinare quanto si vuole ad ogni suo elemento, nel senso di
== Esempi ==
* Uno [[spazio discreto]] è separabile se e solo se è numerabile.
* I [[numeri reali]] '''R''' formano uno spazio separabile: i [[numeri razionali]] '''Q''' sono un sottoinsieme denso e numerabile. Più in generale, uno [[spazio euclideo]] '''R'''<sup>''n''</sup> è separabile, perché contiene l'insieme '''Q'''<sup>''n''</sup> denso e numerabile.
* Lo spazio delle [[funzione continua|funzioni continue]] sull'intervallo [0, 1] con la metrica della [[convergenza uniforme]] è separabile: i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti razionali formano un sottoinsieme denso e numerabile.
* Uno [[spazio di Hilbert]] è separabile se e solo se ha una [[base ortonormale]] numerabile.
== Proprietà ==
* L'immagine di uno spazio separabile tramite una [[funzione continua]] è separabile. Quindi lo [[spazio quoziente]] di uno spazio separabile è separabile.
* Il [[spazio prodotto|prodotto]] di una quantità numerabile di spazi separabili è separabile.
* Il [[topologia del sottospazio|sottospazio]] di uno spazio separabile può non essere separabile. Infatti ogni spazio non separabile è contenuto in uno separabile: è infatti sufficiente aggiungere allo spazio non separabile un punto, ed imporre che la chiusura di questo sia tutto lo spazio.
* D'altra parte, ogni sottospazio ''aperto'' di uno spazio separabile è separabile. E ogni sottospazio di uno [[spazio metrico]] separabile è separabile.
* La cardinalità di uno [[spazio di Hausdorff]] separabile è al più 2<sup>''c''</sup>, dove ''c'' è la cardinalità dei numeri reali.
* L'insieme di tutte le funzioni continue a valori in '''R''' su uno spazio separabile ha cardinalità al più ''c''.
== Voci collegate ==
* [[assioma di separazione]]
[[Categoria: Topologia generale]]
[[fr:Espace séparable]]
[[he:מרחב ספרבילי]]
[[nl:Separabel]]
[[pl:Przestrzeń ośrodkowa]]
[[fi:Separoituva avaruus]]
[[sv:Separabel]]
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