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Sistema dinamico lineare stazionario discreto: differenze tra le versioni

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===Esempio===
Ad esempio, volendo analizzare la dinamica del prodotto interno lordo <math>P(n)</math> di una nazione, siano <math>C(n)</math> i consumi, <math>I(n)</math> gli investimenti e <math>G(n)</math> le spese per il governo. Se <math>P(n)</math> è l'uscita del sistema e <math>G(t)</math> l'ingresso, lo stato del sistema è dato dal vettore <math>(C(n),I(n)))</math>. Secondo il modello di Samuelson i consumi si possono assumere proporzionali al prodotto interno lordo dell'anno precedente, pertanto si ha:
 
:<math>\left(\begin{array}{c} C(n)\\I(n)\end{array}\right) </math>.
 
Secondo il modello di Samuelson i consumi si possono assumere proporzionali al prodotto interno lordo dell'anno precedente, pertanto si ha:
 
:<math>C(n)=mP(n-1) </math>
Line 108 ⟶ 104:
:<math>A=\left(\begin{array}{cc}
m & m\\
\mu(m-1) & \mu m\end{array}\right);</math> \qquad B=\left(\begin{array}{c}m\\
m\mu\end{array}\right); \qquad C=(1 \quad 1) \qquad D=(1) \ </math>▼
 
=== Soluzione del sistema ===▼
:<math>B=\left(\begin{array}{c}m\\
▲m\mu\end{array}\right);</math>
 
:<math>C=(1 \quad 1) \ </math>
 
:<math>D=(1) \ </math>
 
▲== Soluzione del sistema ==
Si vuole risolvere l'equazione:
 
:<math>\left\{\begin{array} {c} x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)\\y(n)=Cx(n)+Du(n)\end{array} \right.</math>
 
Si deve valutare per <math>n=0,1,2,...\dots</math> e pertanto si ha:
 
:<math>x(1)=Ax(0)+Bu(0) \ </math>
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Occorre distinguere i seguenti casi:
 
* ''<math>A''</math> ammette soltanto [[autovalori]] [[reali]] con molteplicità algebrica uguale alla molteplicità geometrica per ogni autovalore.
* ''<math>A''</math> ammette soltanto autovalori [[complessi coniugati]].
* ''<math>A''</math> ammette sia autovalori reali che complessi coniugati.
* ''<math>A''</math> non è [[diagonalizzabile]].
 
====Autovalori reali e molteplicità algebriche e geometriche coincidenti====
In tal caso considerata la matrice ''<math>P''</math>, ''n'' per ''n'', le cui colonne sono gli [[autovettori]] di <math>A</math> [[linearmente indipendenti]] che generano ciascun autospazio relativo ad ogni autovalore si ottiente, dalla teoria della diagonalizzazione delle matrici:▼
 
▲In tal caso considerata la matrice ''P'', ''n'' per ''n'', le cui colonne sono gli [[autovettori]] di A [[linearmente indipendenti]] che generano ciascun autospazio relativo ad ogni autovalore si ottiente, dalla teoria della diagonalizzazione delle matrici:
 
:<math>P^{-1}AP=\Lambda \ </math>
 
dove <math>\Lambda</math> è la [[matrice diagonale]] in cui sulla diagonale principale vi sono gli autovalori di <math>A</math> ripetuti eventualemnte ciascuno con la propria molteplicità. In particolare, se gli autovalori di <math>A</math> sono reali e distinti sulla matrice diagonale <math>\Lambda</math> vi saranno gli n autovalori distinti di ''<math>A''</math>. Essendo <math>A=P \Lambda P^{-1}</math> allora:
 
:<math>A^{n}=(P \Lambda P^{-1})(P \Lambda P^{-1})...(P \Lambda P^{-1})=P\Lambda^{n}P^{-1} \ </math>
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pertanto, la soluzione dell'equazione matriciale alle differenzè è:
 
:<math>x(n)=P\Lambda^{n}P^{-1} x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l) \ </math>.
 
Si nota che la [[risposta libera nello stato]] ottenuta ponendo <math>u(t)=0</math> è:
Line 177 ⟶ 166:
:<math>y_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}CP\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l)+Du(n) \ </math>
 
====Autovalori complessi coniugati====
Volendo analizzare il caso in cui A ammette soltanto autovalori complessi coniugati, supponiamo che ''<math>A''</math> sia una matrice 2 per 2 e siano <math>\alpha+j\omega</math> (''<math>j''</math> è l'[[unità immaginaria]]) e <math>\alpha-j\omega</math> i 2due autovalori complessi coniugati di ''<math>A''</math> e <math>u_{a}+ju_{b}</math> e <math>u_{a}-ju_{b}</math> i due autovettori complessi coniugati corrispondenti. Allora, applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:
 
Allora, applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:
 
:<math>(A-(\alpha+j\omega)I)((u_{a}+ju_{b})=0 \ </math>
 
dove ''<math>I''</math> è la [[matrice identica]] di dimensione 2, che si può scrivere separando parte reale e parte immaginaria nella forma:
 
:<math>((A-\alpha I)u_{a}+\omega u_{b})+j((A-\alpha I)u_{b}+\omega u_{a}))=0 \ </math>
Line 229 ⟶ 216:
- \; \mathrm{sen} (n-l-1) \beta & \cos (n-l-1) \beta \end{array}\right)T Bu(l)</math>.
 
====Autovalori reali e autovalori complessi coniugati====
Supponiamo che la matrice ''<math>A''</math> di ordine ''n'' ammetta ''<math>k''</math> autovalori reali distinti <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k</math> a cui corrispondono ''<math>k''</math> autovettori distinti <math>v_1,v_2,...,v_k</math> allora si hanno le seguenti equazioni:
 
:<math>\begin{array}{c} Av_1=\lambda_1v_1\\Av_2=\lambda_2v_2\\...\\Av_k=\lambda_kv_k \end{array}</math>
 
Supponiamo inoltre che la matrice <math>A</math> ammetta <math>p</math> coppie di autovalori complessi coniugati la cui ''p''-esima coppia è:<math>\alpha_p+j\omega_p</math> e <math>\alpha_p-j\omega_p</math> a cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati <math>u_{a_p}+ju_{b_p}</math> e <math>u_{a_p}-ju_{b_p}</math> allora per quanto visto nel caso precedente per la p-esima coppia, se <math>\tau_p</math> è il modulo dell'autovalore p-esimo e <math>\beta</math> il suo argomento si ha:
 
:<math>A(u_{a_p} u_{b_p})=(u_{a_p} u_{b_p})\tau_p\left(\begin{array}{cc}
Line 240 ⟶ 227:
- \; \mathrm{sen} \,\beta_p & \cos \beta_p \end{array}\right)</math>
 
Ora posto <math>T^{-1}</math> uguale alla matrice le cui colonne sono i <math>k</math> autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie delle ''<math>p''</math> coppie di autovettori complessi coniugati, cioè:
 
:<math>T^{-1}=(v_1,v_2,...,v_k,u_{a_1},u_{b_1},u_{a_2},u_{b_2},...,u_{a_p},u_{b_p})</math>
 
allora dalle precedenti equazioni si ha la [[matrice diagonale]] [[matrice a blocchi|a blocchi]]:
 
:<math>TAT^{-1}=\mbox{diag} \left(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k,\tau_p\left(\begin{array}{cc}
Line 261 ⟶ 248:
- \; \mathrm{sen} \,n\beta_p & \cos n\beta_p \end{array}\right)\right)Tx(0)</math>
 
====La matrice non è diagonalizzabile====
{{...}}
 
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_dinamico_lineare_stazionario_discreto"