Sistema dinamico lineare stazionario discreto

In teoria dei sistemi, un sistema dinamico lineare stazionario discreto o sistema dinamico lineare stazionario a tempo discreto, spesso abbreviato in sistema LTI discreto, è un sistema dinamico lineare stazionario che ha in ingresso un segnale a tempo discreto.

DescrizioneModifica

Un sistema dinamico stazionario discreto è un sistema discreto i cui parametri non dipendono dal tempo:

 
 

dove   sono le variabili di stato al tempo  ,   le variabili di stato al tempo  ,   e   le variabili di ingresso e uscita al tempo  .

Un sistema è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato e dalle variabili di ingresso, ed in tal caso si può escrivere in forma matriciale

 
 

dove  ,  ,   e   sono matrici di dimensioni opportune che premoltiplicano   e  .

Un processo lineare stazionario (LTI) è quindi descritto da equazioni matriciali:

 

dove le matrici sono costanti.

Funzione di trasferimentoModifica

Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso   in un'altra successione  , data dalla convoluzione discreta con la risposta   alla delta di Kronecker:

 

Gli elementi di   possono dipendere da ogni elemento di  . Solitamente   dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo  .

La maggior parte dei segnali a tempo discreto sono ottenuti da un segnale a tempo continuo considerandone il valore assunto in precisi istanti di tempo, solitamente separati da un intervallo temporale fisso  . La procedura che permette di ottenere un segnale discreto a partire da uno continuo è detta campionamento, ed è alla base della conversione analogico-digitale (ADC). Essa trasforma una funzione continua   nel segnale discreto:

 

con   la frequenza di campionamento. Il teorema del campionamento pone un limite alla massima frequenza del segnale continuo, che non può essere superiore ad   se si vuole evitare perdita di informazione (fenomeno di aliasing).

Come nel caso di sistemi a tempo continuo, se   è l'operatore di trasformazione al tempo n:

 

la successione:

 

caratterizza completamente il sistema. Per mostrare questo, dato che vale l'identità:

 

si ha:

 

L'operatore   restituisce un'uscita proporzionale alla media pesata di   con funzione peso data da  . Se   per valori di   negativi il sistema è causale.

AutofunzioniModifica

Gli esponenziali del tipo  , con  , sono autofunzioni di un operatore lineare tempo-invariante. Infatti, detto   il periodo di campionamento e  , con  , si supponga   l'ingresso del sistema. Se   è la risposta impulsiva, si ha:

 

La funzione:

 

dipende solo dal parametro z, ed è l'autovalore associato all'autovettore (autofunzione)   del sistema LTI.

La trasformata zeta:

 

è la funzione di trasferimento del sistema. Di particolare interesse è il caso in cui le autofunzioni siano sinusoidi pure  , con  , che possono essere scritte come  , dove  . Per funzioni di questo tipo la funzione di trasferimento è data dalla trasformata di Fourier a tempo discreto:

 

Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata si ottiene una moltiplicazione:

 

Soluzione dell'equazione matricialeModifica

Si vuole risolvere l'equazione:

 

Si deve valutare per   e pertanto si ha:

 
 
 
 

Si ottiene:

 

Posto   si ha  , e quindi la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:

 

Occorre distinguere i seguenti casi:

  •   ammette soltanto autovalori reali con molteplicità algebrica uguale alla molteplicità geometrica per ogni autovalore.
  •   ammette soltanto autovalori complessi coniugati.
  •   ammette sia autovalori reali che complessi coniugati.
  •   non è diagonalizzabile.

Autovalori reali e molteplicità algebriche e geometriche coincidentiModifica

In tal caso considerata la matrice  , n per n, le cui colonne sono gli autovettori di   linearmente indipendenti che generano ciascun autospazio relativo ad ogni autovalore si ottiene, dalla teoria della diagonalizzazione delle matrici:

 

dove   è la matrice diagonale in cui sulla diagonale principale vi sono gli autovalori di   ripetuti eventualmente ciascuno con la propria molteplicità. In particolare, se gli autovalori di   sono reali e distinti sulla matrice diagonale   vi saranno gli n autovalori distinti di  . Essendo   allora:

 

pertanto, la soluzione dell'equazione matriciale alle differenzè è:

 

Si nota che la risposta libera nello stato ottenuta ponendo   è:

 

mentre la risposta forzata nello stato, ottenuta ponendo  , è:

 

Inoltre la risposta libera nell'uscita per   è:

 

mentre la risposta forzata nell'uscita' per   è:

 

Autovalori complessi coniugatiModifica

Volendo analizzare il caso in cui   ammette soltanto autovalori complessi coniugati, supponiamo che   sia una matrice 2 per 2 e siano   (  è l'unità immaginaria),   i due autovalori complessi coniugati di  , e siano  ,   i due autovettori complessi coniugati corrispondenti. Allora, applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:

 

dove   è la matrice identica di dimensione 2, che si può scrivere separando parte reale e parte immaginaria nella forma:

 

Affinché l'equazione sia vera è necessario che parte reale e parte immaginaria si annullino entrambe pertanto si ha il sistema:

 

che può essere posto nella forma:

 

Pertanto se si pone   uguale alla matrice le cui colonne sono la parte reale e immaginaria dei due autovettori complessi coniugati si ha che:

 

Rappresentando il numero complesso   nel piano di Gauss se   è il modulo e   l'argomento si ha:

  e  

pertanto:

 

Si dimostra per induzione che:

 

Pertanto la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:

 

Autovalori reali e autovalori complessi coniugatiModifica

Si supponga che la matrice   di ordine n ammetta   autovalori reali distinti   a cui corrispondono   autovettori distinti   allora si hanno le seguenti equazioni:

 

Si supponga inoltre che la matrice   ammetta   coppie di autovalori complessi coniugati la cui p-esima coppia è:  e   a cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati   e   allora per quanto visto nel caso precedente per la p-esima coppia, se   è il modulo dell'autovalore p-esimo e   il suo argomento si ha:

 

Ora posto   uguale alla matrice le cui colonne sono i   autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie delle   coppie di autovettori complessi coniugati, cioè:

 

allora dalle precedenti equazioni si ha la matrice diagonale a blocchi:

 

pertanto:

 

BibliografiaModifica

  • E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 2003.
  • A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni, Pitagora Editrice, Bologna, 1998.
  • O.M. Grasselli, Proprietà strutturali dei sistemi lineari e stazionari, Pitagora Editrice, Bologna, 1978

Voci correlateModifica