Un sistema dinamico stazionario discreto è un sistema discreto i cui parametri non dipendono dal tempo:
dove sono le variabili di stato al tempo , le variabili di stato al tempo , e le variabili di ingresso e uscita al tempo .
Un sistema è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato e dalle variabili di ingresso, ed in tal caso si può escrivere in forma matriciale
Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso in un'altra successione , data dalla convoluzione discreta con la risposta alla delta di Kronecker:
Gli elementi di possono dipendere da ogni elemento di . Solitamente dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo .
La maggior parte dei segnali a tempo discreto sono ottenuti da un segnale a tempo continuo considerandone il valore assunto in precisi istanti di tempo, solitamente separati da un intervallo temporale fisso . La procedura che permette di ottenere un segnale discreto a partire da uno continuo è detta campionamento, ed è alla base della conversione analogico-digitale (ADC). Essa trasforma una funzione continua nel segnale discreto:
Gli esponenziali del tipo , con , sono autofunzioni di un operatore lineare tempo-invariante. Infatti, detto il periodo di campionamento e , con , si supponga l'ingresso del sistema. Se è la risposta impulsiva, si ha:
La funzione:
dipende solo dal parametro z, ed è l'autovalore associato all'autovettore (autofunzione) del sistema LTI.
è la funzione di trasferimento del sistema. Di particolare interesse è il caso in cui le autofunzioni siano sinusoidi pure , con , che possono essere scritte come , dove . Per funzioni di questo tipo la funzione di trasferimento è data dalla trasformata di Fourier a tempo discreto:
Grazie alle proprietà della convoluzione, nel dominio della trasformata si ottiene una moltiplicazione:
Autovalori reali e molteplicità algebriche e geometriche coincidentiModifica
In tal caso considerata la matrice , n per n, le cui colonne sono gli autovettori di linearmente indipendenti che generano ciascun autospazio relativo ad ogni autovalore si ottiene, dalla teoria della diagonalizzazione delle matrici:
dove è la matrice diagonale in cui sulla diagonale principale vi sono gli autovalori di ripetuti eventualmente ciascuno con la propria molteplicità. In particolare, se gli autovalori di sono reali e distinti sulla matrice diagonale vi saranno gli n autovalori distinti di . Essendo allora:
pertanto, la soluzione dell'equazione matriciale alle differenzè è:
Volendo analizzare il caso in cui ammette soltanto autovalori complessi coniugati, supponiamo che sia una matrice 2 per 2 e siano ( è l'unità immaginaria), i due autovalori complessi coniugati di , e siano , i due autovettori complessi coniugati corrispondenti. Allora, applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:
dove è la matrice identica di dimensione 2, che si può scrivere separando parte reale e parte immaginaria nella forma:
Affinché l'equazione sia vera è necessario che parte reale e parte immaginaria si annullino entrambe pertanto si ha il sistema:
che può essere posto nella forma:
Pertanto se si pone uguale alla matrice le cui colonne sono la parte reale e immaginaria dei due autovettori complessi coniugati si ha che:
Rappresentando il numero complesso nel piano di Gauss se è il modulo e l'argomento si ha:
e
pertanto:
Si dimostra per induzione che:
Pertanto la soluzione dell'equazione matriciale alle differenze è:
Autovalori reali e autovalori complessi coniugatiModifica
Si supponga che la matrice di ordine n ammetta autovalori reali distinti a cui corrispondono autovettori distinti allora si hanno le seguenti equazioni:
Si supponga inoltre che la matrice ammetta coppie di autovalori complessi coniugati la cui p-esima coppia è: e a cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati e allora per quanto visto nel caso precedente per la p-esima coppia, se è il modulo dell'autovalore p-esimo e il suo argomento si ha:
Ora posto uguale alla matrice le cui colonne sono i autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie delle coppie di autovettori complessi coniugati, cioè: