Integrale di linea: differenze tra le versioni
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{{nota disambigua|il metodo di integrazione funzionale usato in meccanica quantistica|[[Integrale sui cammini]]}}
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In [[matematica]], un '''integrale di linea''' (da non confondere con il calcolo della lunghezza di una curva usando l'integrazione) o ''integrale curvilineo'' è un [[integrale]] in cui la [[funzione (matematica)|funzione]] da integrare è valutata lungo un cammino o una [[Curva (matematica)|curva]]. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato '''integrale di contorno'''.
La funzione da integrare può essere un [[campo scalare]] o un [[campo vettoriale]]. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la [[lunghezza di un arco]] o, nel campo vettoriale, il [[prodotto scalare]] del campo scalare con il vettore [[Differenziale_(matematica)|differenziale]] nella curva). Questa "pesatura" distingue l'integrale di linea dai più semplici integrali definiti su [[intervallo (matematica)|intervalli]].
▲[[File:Line-Integral.gif|right]]
== Calcolo vettoriale ==
In termini qualitativi, un integrale di linea nel calcolo vettoriale può essere pensato come la misura di un effetto di un dato [[campo vettoriale]] lungo una certa curva.
=== Definizione ===
{{Vedi anche|integrale di linea di prima specie|Integrale di linea di seconda specie}}
Dato un [[campo scalare]] <math> f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, si definisce l'integrale di linea su una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math>, con <math>t \in [a, b]</math>, come:<ref>{{Cita web
|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Curvilinear_integral
|titolo=Encyclopedia of Mathematics - Curvilinear integral
|autore=L.D. Kudryavtsev
|anno=2012
}}</ref>
:<math>\int_C f\ \operatorname ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \,\mathrm{d}t</math>
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dove il termine <math>\mathrm{d}s</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]]. Se il dominio della funzione <math>f</math> è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo <math>[r(a),r(b)]</math> (o <math>[r(b),r(a)]</math>, qualora fosse <math>r(b)<r(a)</math>). Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli [[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della [[Indice_di_concentrazione#Curva_di_Lorenz|curva di Lorenz]].
Similmente, per un [[campo vettoriale]] <math>\mathbf{F} : \R^n \to \R^n</math>, l'integrale di linea lungo una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math> con <math>t \in [a, b]</math>, è definito da:<ref name=mathworld>{{Cita web
|url=http://mathworld.wolfram.com/LineIntegral.html
|titolo=MathWorld - Line Integral
|autore=Eric Weisstein
|anno=2012
}}</ref>
:<math>\int_C \mathbf{F} = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t</math>
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A parole, l'integrale di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math> dipende solamente dai valori nei punti <math>\mathbf{r}(b)</math> e <math>\mathbf{r}(a)</math>, ed è quindi indipendente dal cammino particolare. Per questa ragione, un campo vettoriale che è il gradiente di un campo scalare è detto ''cammino indipendente''.
L'integrale di linea è spesso usato in fisica. Per esempio, il lavoro <math>W=\vec F\cdot\vec s</math> svolto su una particella che si muove su una curva <math>C</math> in un campo di forze rappresentato da un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> è l'integrale di linea di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math>
▲L'integrale di linea è spesso usato in fisica. Per esempio, il lavoro svolto su una particella che si muove su una curva <math>C</math> in un campo di forze rappresentato da un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> è l'integrale di linea di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math>.
<math>W=\int_C \vec F\cdot \operatorname d\vec s</math>
== Analisi complessa ==
L'integrale di linea è uno strumento fondamentale nell'[[analisi complessa]].
Sia <math>U \subset \C</math> un [[insieme aperto]], sia <math>\gamma : [a,b] \to U</math> una [[curva rettificabile]] e <math>f : u \to \C</math> una funzione. Allora l'integrale di linea:
:<math>\int_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z</math>
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La "[[integrale sui cammini|integrazione sui cammini]]" usata in [[meccanica quantistica]] si riferisce non agli integrali trattati in questa voce ma a un metodo di [[integrazione funzionale]], che è l'integrazione su uno spazio di cammini, di una funzione ''di'' un possibile cammino. Gli integrali di linea nel senso di questa voce sono tuttavia importanti in meccanica quantistica; per esempio, l'integrazione complessa lungo una curva chiusa è spesso utilizzata nel valutare l'[[ampiezza di probabilità]] nella teoria quantistica dello [[scattering]].
==Note==
<references/>
==Bibliografia==
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* [[Integrale di superficie]]
* [[Integrale di volume]]
* [[Teorema del rotore]]
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