Integrale di linea

integrale valutato lungo il cammino di una curva
Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando il metodo di integrazione funzionale usato in meccanica quantistica, vedi Integrale sui cammini.
Integrale di linea

In matematica, un integrale di linea (da non confondere con il calcolo della lunghezza di una curva usando l'integrazione) o integrale curvilineo è un integrale in cui la funzione da integrare è valutata lungo un cammino o una curva. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato integrale di contorno.

La funzione da integrare può essere un campo scalare o un campo vettoriale. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la lunghezza di un arco o, nel campo vettoriale, il prodotto scalare del campo scalare con il vettore differenziale nella curva). Questa "pesatura" distingue l'integrale di linea dai più semplici integrali definiti su intervalli. Molte relazioni in fisica sono formulate in termini di integrali di linea: ad esempio, il lavoro compiuto dalle forze del campo su un oggetto spostato attraverso un campo, elettrico o gravitazionale, lungo una traiettoria.

Indice

Analisi vettorialeModifica

L'integrale di linea di un campo scalare è talvolta detto "di prima specie", mentre l'integrale di un campo vettoriale è "di seconda specie".

In termini qualitativi, un integrale di linea nel calcolo vettoriale può essere pensato come la misura di un effetto di un dato campo vettoriale lungo una certa curva.

Integrale di prima specieModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di linea di prima specie.

Dato un campo scalare  , si definisce l'integrale di linea su una curva  , parametrizzata da  , con  , come:[1]

 

dove il termine   indica che l'integrale è effettuato su un'ascissa curvilinea. Se il dominio della funzione   è  , l'integrale curvilineo si riduce al comune integrale di Riemann valutato nell'intervallo   (o  , qualora fosse  ). Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli integrali ellittici di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della curva di Lorenz.

Integrale di seconda specieModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di linea di seconda specie.

Similmente, per un campo vettoriale  , l'integrale di linea lungo una curva  , parametrizzata da   con  , è definito da:[2]

 

Indipendenza dal camminoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del gradiente.

Se un campo vettoriale   è il gradiente di un campo scalare  , cioè:

 

allora la derivata della funzione composta di   e   è:

 

che è l'integrando dell'integrale di linea di   lungo  . Segue che, dato un cammino  :

 

A parole, l'integrale di   lungo   dipende solamente dai valori nei punti   e  , ed è quindi indipendente dal cammino particolare. Per questa ragione, un campo vettoriale che è il gradiente di un campo scalare è detto cammino indipendente.

L'integrale di linea è largamente usato in fisica, spesso nella descrizione di campi di forze conservativi. Per esempio, il lavoro   svolto su una particella che si muove su una curva   in un campo di forze rappresentato da un campo vettoriale   è l'integrale di linea di   lungo  :

 

Analisi complessaModifica

L'integrale di linea è uno strumento fondamentale nell'analisi complessa. Sia   un insieme aperto, sia   una curva rettificabile e   una funzione. Allora l'integrale di linea:

 

può essere definito suddividendo l'intervallo   in   e considerando l'espressione:

 

L'integrale è il limite di questa somma, per la lunghezza delle suddivisioni tendente a zero.

Se   è una curva differenziabile con continuità, l'integrale di linea può essere valutato come un integrale di una funzione reale di variabile reale:

 

Quando   è una curva chiusa, cioè la sua posizione iniziale e finale coincidono, la notazione:

 

è spesso usata per l'integrale di linea di   su  .

Vedendo i numeri complessi come vettori in due dimensioni, l'integrale di linea nel piano di un campo vettoriale corrisponde alla parte reale dell'integrale di linea del coniugato della funzione complessa corrispondente di variabile complessa. Nello specifico, se:

 

allora:

 

a condizione che gli integrali alla destra esistono e che la parametrizzazione   di   abbia la stessa orientazione di  .

Per l'equazione di Cauchy-Riemann, il rotore del campo vettoriale corrispondente al coniugato di una funzione olomorfa è nullo. Per il teorema dei residui, inoltre, spesso si usa un integrale di contorno nel piano complesso per trovare l'integrale di una funzione reale di variabile reale. Importanti risultati riguardo agli integrali di linea sono il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.

EsempiModifica

Si consideri una funzione  , e la circonferenza   di raggio unitario intorno all'origine, parametrizzata da:

 

Sostituendo, si trova:

 

che può anche essere verificato con la formula integrale di Cauchy.

Meccanica quantisticaModifica

L' "integrazione sui cammini" usata in meccanica quantistica si riferisce non agli integrali trattati in questa voce ma a un metodo di integrazione funzionale, che è l'integrazione su uno spazio di cammini, di una funzione di un possibile cammino. Gli integrali di linea nel senso di questa voce sono tuttavia importanti in meccanica quantistica; per esempio, l'integrazione complessa lungo una curva chiusa è spesso utilizzata nel valutare l'ampiezza di probabilità nella teoria quantistica dello scattering.

NoteModifica

  1. ^ L.D. Kudryavtsev, Encyclopedia of Mathematics - Curvilinear integral, su encyclopediaofmath.org, 2012.
  2. ^ Eric Weisstein, MathWorld - Line Integral, su mathworld.wolfram.com, 2012.

BibliografiaModifica

  • (EN) Krantz, S. G. The Complex Line Integral. §2.1.6 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 22, 1999.

Voci correlateModifica

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