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Potenziale scalare: differenze tra le versioni

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==Definizione==
Dato un [[campo vettoriale]] <math>\boldsymbolmathbf \alphaF : \Omega_1Omega \subseteq \mathbb{R}^{k} \longrightarrowto \mathbb{R}^{k}</math>, il potenziale scalare è una funzione <math>\beta_1Phi : \Omega_1Omega \longrightarrowto \mathbb{R}</math> tale che:
 
:<math>\beta_1nabla \Phi = - \nabla^{-1}mathbf \boldsymbol \alphaF</math>
 
ovvero il [[gradiente]] di <math>\beta_1 Phi</math> è il campo stesso.<br> Se il gradiente esiste, il campo vettoriale è un [[campo vettoriale conservativo|campo conservativo]].
Se il gradiente esiste, il campo vettoriale è detto [[campo vettoriale conservativo|conservativo]].
 
In modo equivalente, se <math>\mathbf F</math> è conservativo (il suo [[Rotore (matematica)|rotore]] è nullo) e le sue componenti hanno [[derivata parziale|derivate parziali]] [[funzione continua|continue]], il potenziale di <math>\mathbf F</math> in <math>\mathbf r</math> rispetto alla posizione <math>\mathbf r_0</math> è dato dall'[[integrale di linea]]:
Le componenti di <math>\boldsymbol \alpha</math>, nel caso tridimensionale, sono:▼
 
:<math>\alpha_xPhi(x,y,z\mathbf r) = -\int_C \fracmathbf{F}(\partialmathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = -\beta_1int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\partial xcdot\mathbf{r}'(x,y,zt)\,dt.</math>
 
dove <math>C</math> è una curva parametrizzata che congiunge <math>\mathbf r_0</math> a <math>\mathbf r</math>:
:<math>\alpha_y(x,y,z) = - \frac{\partial \beta_1}{\partial y}(x,y,z)</math>▼
 
:<math> a\alpha_z(x,y,z)leq =t\leq -b \frac{\partialqquad \beta_1mathbf{r}(a)=\mathbf{r_0} \partialqquad z\mathbf{r}(x,y,zb)=\mathbf{r}</math>
 
In tre dimensioni, ponendo <math>\mathbf r = (x,y,z)</math> e <math>\mathbf r_0 = (0,0,0)</math> si ha:
ovvero le [[derivata parziale|derivate parziali]] del potenziale rispetto alla variabile x, y e z. Integrando ambo i membri di ogni equazione del sistema si ha un sistema di [[equazioni differenziali]] che hanno come soluzione una classe di funzioni definite a meno di una [[costante]] ''<math>\beta_0</math>''.▼
 
:<math>\Phi(x,y,z) - \Phi(0,0,0) = - \int_{(0,0,0)}^{(x,0,0)} F_x(t,0,0)dt - \int_{(x,0,0)}^{(x,y,0)} F_y(x,t,0)dt - \int_{(x,y,0)}^{(x,y,z)} F_z(x,y,t)dt</math>
 
▲Lee le componenti di <math>\boldsymbolmathbf \alphaF</math>, nel caso tridimensionale, sono:
 
:<math>F_x(x,y,z) = - \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,y,z)</math>
 
▲:<math>\alpha_yF_y(x,y,z) = - \frac{\partial \beta_1Phi}{\partial y}(x,y,z)</math>
 
:<math>VF_z(\mathbf{r}x,y,z) = - \frac{G\partial M\Phi}{r}\partial + Cz}(x,y,z)</math>▼
 
▲ovvero le [[derivata parziale|derivate parziali]] del potenziale rispetto alla variabile <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math>. Integrando ambo i membri di ogni equazione del sistema si ha un sistema di [[equazioni differenziali]] che hanno come soluzione una classe di funzioni definite a meno di una [[costante]] ''<math>\beta_0C</math>''.
 
Il potenziale è sempre definito a meno di una costante moltiplicativa arbitraria ed è quindi proporzionale all'[[energia potenziale]] di un corpo immerso nel campo. La costante di proporzionalità è la stessa che si ha tra l'intensità del campo e la [[forza]] agente sul corpo.
 
==Potenziale gravitazionale==
Secondo la [[legge di gravitazione universale]] di [[Isaac Newton|Newton]], il campo gravitazionale esercitato da un corpo puntiforme di massa ''<math>M''</math>, che per semplicità consideriamo posto nell'origine degli [[assi cartesiani]], è:
 
:<math>\mathbf{g}(\mathbf{r}) = - G M \frac{\mathbf{r}}{r^3}</math>
dove ''r'' è il [[norma euclidea|modulo]] di '''r''', mentre ''G'' è la [[costante di gravitazione universale]].▼
Di conseguenza il potenziale (per unità di massa) ha l'espressione▼
▲:<math>V(\mathbf{r}) = -\frac{G M}{r} + C</math>
(la verifica è lasciata al lettore). Per convenzione, la costante additiva ''C'' si pone uguale a zero: questo corrisponde a fissare la [[condizione al contorno]] che il potenziale si annulli per ''r'' tendente all'infinito (tende invece all'infinito per ''r'' tendente a zero).▼
 
▲dove ''<math>r''</math> è il [[norma euclidea|modulo]] di '''<math>\mathbf{r'''}</math>, mentre ''<math>G''</math> è la [[costante di gravitazione universale]].
Quando si consideri una regione limitata nei pressi della superficie terrestre, il campo gravitazionale della Terra si può approssimare con un vettore costante diretto verticalmente verso il basso. In questo caso l'espressione del potenziale è▼
▲Di conseguenza il potenziale (per unità di massa) ha l'espressione:
:<math>V(z) = gz + C \ </math>▼
 
dove ''g'' è il valore dell'[[accelerazione di gravità]] sulla superficie terrestre, pari a circa 9.8 m s<sup>-2</sup>. La costante ''C'' si determina fissando una quota di riferimento alla quale il potenziale è nullo.▼
:<math>U(\mathbf{r}) = \frac{G M}{r} + C</math>
 
▲(la verifica è lasciata al lettore). Per convenzione, la costante additiva ''<math>C''</math> si pone uguale a zero: questo corrisponde a fissare la [[condizione al contorno]] che il potenziale si annulli per ''<math>r''</math> tendente all'infinito (tende invece all'infinito per ''<math>r''</math> tendente a zero).
 
▲Quando si consideri una regione limitata nei pressi della superficie terrestre, il campo gravitazionale della Terra si può approssimare con un vettore costante diretto verticalmente verso il basso. In questo caso l'espressione del potenziale è:
 
▲:<math>VU(z) = gz + C \ </math>
 
▲dove ''<math>g''</math> è il valore dell'[[accelerazione di gravità]] sulla superficie terrestre, pari a circa 9.8 m s<sup>-2</sup>. La costante ''<math>C''</math> si determina fissando una quota di riferimento alla quale il potenziale è nullo.
 
==Potenziale elettrostatico==
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*[[Potenziale]]
*[[Potenziale vettore]]
 
 
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