Numero cardinale: differenze tra le versioni
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[[File:Hebrew letter Alef.svg|thumb|right|La lettera aleph dell'alfabeto ebraico]]
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I numeri cardinali furono definiti da [[Georg Cantor]] mentre stava sviluppando la teoria degli insiemi oggi chiamata [[teoria ingenua degli insiemi]] nel periodo [[1874]]–[[1884]].
Inizialmente definì il concetto di cardinalità come strumento per confrontare insiemi finiti; per esempio, gli insiemi <math>{1,2,3}</math> e <math>{2,3,4}</math> non sono ''uguali'', ma hanno la ''stessa cardinalità'', e cioè ''tre''.
Cantor utilizzò il concetto di [[corrispondenza biunivoca]] per mostrare che due insiemi finiti hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi. In seguito trasferì il concetto agli insiemi infiniti, come per esempio l'insieme dei numeri naturali
Al numero cardinale transfinito che corrisponde alla cardinalità di
<math>\aleph_0</math> (
<!--
denumerably infinite, and later that the set of all [[algebraic number]]s (every member of the set is a set of numbers of its own <math>(a_0, a_1, ..., a_n),\;\; a_i \in \mathbb{N}</math>, like an extended ordered pair) is denumerably infinite.
-->
A questo punto, nel [[1874]], si chiese se ''tutti gli insiemi infiniti'' fossero numerabili, rendendo così di poca utilità la definizione di cardinalità. Invece Cantor riuscì a dimostrare che esistono numeri cardinali più grandi utilizzando una tecnica che ha preso il nome di [[argomento diagonale di Cantor]]. Il primo numero cardinale maggiore di <math>\aleph_0</math> scoperto da Cantor venne indicato con
Cantor sviluppò poi una teoria generale dei numeri cardinali, dimostrando che <math>\aleph_0</math> è il più piccolo numero cardinale transfinito, e che per ogni numero cardinale ne esiste uno più grande (<math>\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots</math>).
La successiva [[ipotesi del continuo]] suggerì che
== Motivazioni per l'uso dei numeri cardinali ==
Nell'uso non rigoroso, un
In modo più formale si può dire che un numero può essere usato per due scopi differenti: per descrivere la grandezza di un insieme, o per descrivere la posizione di un elemento in una successione. Per insiemi e successioni [[insieme finito|finite]] è facile vedere che queste due nozioni coincidono, dato che per ogni numero che descrive una posizione in una successione si può costruire un insieme che ha esattamente quella grandezza. Per esempio, 3 descrive la posizione di
▲Nell'uso non rigoroso, un '''numero cardinale''' è ciò che serve per contare. I numeri cardinali vengono identificati con i [[numero naturale|numeri naturali]], a partire da 0. I numeri naturali sono esattamente ciò che viene definito in modo formale come i numeri cardinali finiti. I cardinali infiniti vengono usati soltanto nella matematica di livello più alto e nella logica.
▲In modo più formale si può dire che un numero può essere usato per due scopi differenti: per descrivere la grandezza di un insieme, o per descrivere la posizione di un elemento in una successione. Per insiemi e successioni [[insieme finito|finite]] è facile vedere che queste due nozioni coincidono, dato che per ogni numero che descrive una posizione in una successione si può costruire un insieme che ha esattamente quella grandezza. Per esempio, 3 descrive la posizione di 'c' nella successione <'a','b','c','d',...>, e si può costruire l'insieme {a,b,c} che ha 3 elementi. Però quando si ha a che fare con [[insieme infinito|insiemi infiniti]] è necessario distinguere tra i due concetti, che per insiemi infiniti sono effettivamente diversi. L'aspetto della posizione in una successione porta al concetto di [[numero ordinale (teoria degli insiemi)|numero ordinale]], mentre l'aspetto della grandezza di un insieme è generalizzato dai '''numeri cardinali''' descritti qui.
L'intuizione che sta dietro alla definizione formale di cardinale consiste nella definizione di "grandezza" di un insieme senza però fare riferimento al tipo di elementi che l'insieme contiene. Per gli insiemi finiti è facile, basta semplicemente contare gli elementi di un insieme uno dopo l'altro. Ma per confrontare le dimensioni di insiemi più grossi occorre fare uso di nozioni più sottili.
Un insieme
:<math>\begin{align}
1 &\mapsto a \\
2 &\mapsto b \\
3 &\mapsto c
che è iniettiva, e quindi possiamo concludere che ''Y'' ha cardinalità maggiore o uguale di ''X''. Si noti che l'elemento d non ha corrispondente nel primo insieme, ma questo fatto è permesso dal fatto che la funzione è solo iniettiva e non anche [[funzione suriettiva|suriettiva]]. Il vantaggio di questa definizione consiste nel fatto che essa può essere estesa agli insiemi infiniti.▼
\end{align}</math>
▲che è iniettiva, e quindi possiamo concludere che
Due [[insieme|insiemi]]
▲Questa definizione può essere modificata per renderla una relazione di equivalenza.
In tal caso, si scrive <math>|
▲Due [[insieme|insiemi]] ''X'' e ''Y'' hanno la stessa '''cardinalità''' se esiste una [[corrispondenza biunivoca|funzione biunivoca]] tra ''X'' e ''Y'', oppure se esistono ''sia'' una funzione iniettiva da ''X'' a ''Y'' ''e'' una funzione iniettiva da ''Y'' a ''X''.
▲In tal caso, si scrive | ''X'' | = | ''Y'' |. Il numero cardinale di ''X'' spesso è definito come il minore [[numero ordinale]] ''a'' tale che | ''a'' | = | ''X'' |. Questa procedura viene chiamata [[assegnazione cardinale di von Neumann]]. Perché questa definizione abbia senso, deve essere dimostrato che ogni insieme ha la stessa cardinalità di un qualche ordinale: questa affermazione è il [[teorema del buon ordinamento|principio di buon ordinamento]]. È comunque possibile parlare della cardinalità relativa di insiemi senza assegnare esplicitamente dei nomi agli oggetti in questione.
L'esempio classico che viene fatto di solito è quello del paradosso dell'albergo infinito, anche chiamato [[paradosso del Grand Hotel di Hilbert]]. Si immagini che esista un albergo con un numero infinito di stanze. L'albergo è pieno, e arriva un nuovo ospite. È possibile trovare un posto per il nuovo arrivato chiedendo a chi occupa la stanza numero 1 di spostarsi nella numero 2, a chi occupa la numero 2 di spostarsi nella numero 3, e così via. Viene così lasciata libera la stanza numero 1. Si può scrivere esplicitamente una parte di questa funzione:
:<math>\begin{align}
1 &\leftrightarrow 2 \\
2 &\leftrightarrow 3 \\
3 &\leftrightarrow 4 \\
&\dots \\
n &\leftrightarrow n+1 \\
&\dots
In questo modo si vede che l'insieme {1,2,3,...} ha la stessa cardinalità dell'insieme {2,3,4,...}, dato che è stata mostrata un'applicazione biunivoca tra il primo e il secondo insieme. Questo motiva la definizione di insieme infinito come insieme che possiede un sottoinsieme proprio con la stessa cardinalità: in questo caso {2,3,4,...} è un sottoinsieme proprio di {1,2,3,...}.▼
\end{align}
</math>
▲In questo modo si vede che l'insieme <math>\{1,2,3,
Quando si considerano questi oggetti così grandi si vuole anche vedere se la nozione di "counting order" coincide con quella di cardinale. In effetti, no. Considerando l'esempio precedente dell'albergo infinito si può vedere che se esiste un oggetto "infinito più uno" allora esso deve avere la stessa cardinalità dell'insieme infinito dal quale si è partiti. Si può usare una nozione differente di numero, chiamata [[numero ordinale]], basata sull'idea di contare i numeri uno dopo l'altro, e si vede che le due nozioni sono diverse quando si passa ai numeri infiniti.
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Si può dimostrare che la cardinalità dei [[numero reale|numeri reali]] è maggiore di quella dei numeri naturali. Questo fatto può essere visualizzato grazie all'[[argomento diagonale di Cantor]]. Problemi classici nello studio della cardinalità (per esempio l'[[ipotesi del continuo]]) hanno a che fare con la possibilità che esista qualche cardinale compreso tra una coppia di altri cardinali infiniti. Nei tempi recenti i matematici hanno iniziato a descrivere le proprietà di cardinali sempre più grandi.
Poiché la cardinalità è un concetto molto comune in matematica, per esso vengono usati molti nomi diversi, come
== Definizione formale ==
La definizione di cardinale viene solitamente data appoggiandosi a due concetti base:
* il concetto di [[numero ordinale (teoria degli insiemi)|numero ordinale]];
* la relazione d'ordine <math>|\cdot|\leq|\cdot|</math>, definita come <math>|A| \leq |B| \iff \exists f: A \rightarrow B</math> iniettiva
Il [[teorema di Cantor-Bernstein-Schroeder]] afferma che se <math>|X| \leq |Y|, |Y| \leq |X| \Rightarrow |X| = |Y|</math>, ovvero esiste una funzione bigettiva tra <math>X</math> e <math>Y</math>, e ci garantisce quindi che <math>|\cdot|\leq|\cdot|</math> è effettivamente una [[relazione d'ordine]]. Supponendo vero l'assioma della scelta otteniamo poi che dati due insiemi <math>X</math> e <math>Y</math>, vale sempre <math>|X|\leq|Y|</math> o <math>|Y|\leq|X|</math>, ovvero la relazione d'ordine è totale.
A questo punto definiamo
<math>\forall \beta \text{ ordinale}, \beta < \alpha \Rightarrow |\beta| < |\alpha|</math>
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A questo punto possiamo vedere la relazione <math>|\cdot| \leq |\cdot|</math> come una semplice relazione <math>\leq</math> tra cardinali.
Se l'assioma della scelta non viene invece ritenuto valido e
Un insieme
== Numeri aleph ==
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== Aritmetica dei cardinali ==
Si possono definire delle operazioni [[aritmetica|aritmetiche]] sui numeri cardinali che generalizzano le operazioni ordinarie sui numeri naturali. Se ''X'' e ''Y'' sono [[disgiunzione|disgiunti]], allora l'addizione è data dall'[[unione (insiemistica)|unione]] di
:<math>|
Il prodotto di numeri cardinali è dato dal [[prodotto cartesiano]]:
:<math>|
La potenza è data da
:<math>|
dove
* la moltiplicazione è [[proprietà distributiva|distributiva]] sull'addizione▼
▲* la moltiplicazione è [[proprietà distributiva|distributiva]] sull'addizione;
* <math>|X|^{|Y|+|Z|}=|X|^{|Y|}\cdot|X|^{|Z|}</math>;
* <math>|X|^{|Y|\cdot|Z|}=\left(|X|^{|Y|}\right)^{|Z|}</math>;
* <math>(|X|\cdot|Y|)^{|Z|}=|X|^{|Z|}\cdot|Y|^{|Z|}</math>.
L'addizione e la moltiplicazione di cardinali infiniti (supponendo valido l'assioma della scelta) sono semplici: se <math>X</math> o <math>Y</math> sono infiniti ed entrambi sono non vuoti, allora
:<math>|X|+|Y|=|X|\cdot|Y|=\max\{|X|,|Y|\}.</math>
Questo concorda con il risultato raggiunto da Cantor che afferma che, ad esempio, il prodotto cartesiano di
Si noti che
Esistono ulteriori regole per la potenza:
* <math>|
*
*
* <math>|
* se <math>|
* se
== L'ipotesi del continuo ==
L'[[ipotesi del continuo]] (''continuum hypothesis'', abbreviato con
== Voci correlate ==
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