Derivata direzionale: differenze tra le versioni
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In [[analisi matematica]], la '''derivata direzionale''' è uno strumento che generalizza il concetto di [[derivata parziale]] di una [[Funzione (matematica)|funzione]] in più [[Variabile (matematica)|variabili]] estendendolo a una qualsiasi [[direzione (geometria)|direzione]], individuata da un [[Vettore (matematica)|vettore]] nell'origine. In [[geometria differenziale]] la derivata direzionale è generalizzata ad una [[varietà differenziabile]] tramite il concetto di [[derivata covariante]].
== Definizione ==
La derivata direzionale di una funzione scalare <math>f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> lungo un [[Vettore (matematica)|vettore]] unitario <math>\mathbf{u} = (u_1, \ldots, u_n)</math> è la [[Funzione (matematica)|funzione]] definita dal [[Limite di una funzione|limite]]:
:<math>D_{\mathbf{u}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{h}}</math>
Se la funzione <math>f</math> è differenziabile in <math>\mathbf{x}</math>, allora la derivata direzionale esiste lungo ogni vettore unitario <math>\mathbf{u}
:<math>D_{\mathbf{u}}{f}(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{u}</math>
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la derivata esiste se il limite è finito.
===Derivata covariante===
{{vedi anche|Derivata covariante}}
Si può estende il concetto di derivata direzionale presente nell'ordinario [[spazio euclideo]] ad una [[varietà differenziabile]] arbitraria tramite la derivata covariante. Attraverso di essa è possibile calcolare la derivata di un [[campo vettoriale]], o di un più generale [[tensore|campo tensoriale]] in un punto e lungo una direzione fissata. La nozione di derivata covariante è essenzialmente equivalente a quella di [[connessione (matematica)|connessione]]: su una varietà differenziabile è possibile scegliere fra una infinità di possibili connessioni, e quindi di possibili nozioni di derivata covariante. La derivata covariante è un concetto fondamentale in [[geometria differenziale]] e in [[relatività generale]], poiché attraverso di essa si definiscono vari tensori che misurano la curvatura di una varietà, come il [[tensore di Riemann]] ed il [[tensore di Ricci]].
== Proprietà ==
Se <math>f\;</math> è una [[funzione differenziabile]] in un punto <math>(x_0,y_0)\;</math> allora esistono le sue [[Derivata parziale|derivate parziali]] e la derivata direzionale della funzione rispetto al versore <math>\mathbf{v}</math> nel punto è data dal [[prodotto scalare]] tra il [[gradiente]] della funzione ed il versore stesso:
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* La derivata direzionale assume il valore massimo se <math>\theta = 0</math> e quindi il gradiente e <math>\mathbf{v}</math> sono paralleli e concordi.
* La derivata direzionale è nulla se <math>\theta =
* La derivata direzionale assume il valore minimo se <math>\theta = \pi\;</math>, e quindi il gradiente e <math>\mathbf{v}</math> sono paralleli e discordi.
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==Bibliografia==
* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Principi di analisi matematica | editore= McGraw-Hill | città= Milano | anno= 1991|id=ISBN 8838606471|cid =rudin}}
* {{en}}{{cite book | first=F. B. | last=Hildebrand | title=Advanced Calculus for Applications| publisher=Prentice Hall | year=1976 | isbn=0-13-011189-9 }}
* {{en}}{{cite book | author=K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence| title=Mathematical methods for physics and engineering| publisher=Cambridge University Press| year=2010 | isbn=978-0-521-86153-3}}
==Voci correlate==
* [[Derivata]]
* [[Derivata covariante]]
* [[Derivata parziale]]
* [[Funzione differenziabile]]
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