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e dunque:
:<math>\rho(A)\leq \|A^k\|^{1/k}\,\,\square</math>
come si voleva mostrare.
Il raggio spettrale è strettamente legato al comportamento della convergenza della successione delle potenze di una matrice. In pratica, vale il seguente teorema. Sia <math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> una matrice complessa e <math>\rho(A)</math> il suo raggio spettrale. Allora: ▼
▲Il raggio spettrale è strettamente legato al comportamento della convergenza della successione delle potenze di una matrice. In pratica, vale il seguente teorema. Sia <math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> una matrice complessa e <math>\rho(A)</math> il suo raggio spettrale. Allora : <math>\lim_{k \to \infty}A^k=0</math> se e solo se <math>\rho(A)<1</math>. Inoltre, se <math>\rho(A) > 1</math> allora <math>\|A^k\|</math> non è limitato per valori di <math>k</math> crescenti.
:<math>\lim_{k \to \infty}A^k=0</math> if and only if <math>\rho(A)<1</math>
Inoltre,Per mostrare seche <math>\lim_{k \to \infty}A^k = 0</math> implica <math> \rho(A) >< 1 </math>, allorasia <math>(\|A^kmathbf v, \|lambda)</math> nonuna ècoppia limitatoautovettore-autovalore perrelativi valori diad <math>kA</math> crescenti. Dato che:
:<math>A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v} ,</math> ▼<!--
Per mostrare che <math>\left(\lim_{k \to \infty}A^k = 0</math> implica <math> \rho(A) < 1\right</math>, sia <math>(\mathbf v, \lambda)</math> una coppia autovettore-autovalore relativi ad <math>A</math>. Dato che:
▲:<math>A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v},</math>
si ha:
:<math>\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0</math>
che implica <math>|λ \lambda | < 1</math>. SincePoichè thisquesto mustdeve beessere truevero forper anyogni eigenvalueautovalore λ,deve wesuccedere canche conclude ρ<math>\rho(''A'') < 1</math>.
<math>\left(\rho(A)<1 \Rightarrow \lim_{k \to \infty}A^k = 0\right)</math>
FromPer themostrare che <math>\rho(A)<1</math> implica <math>\lim_{k \to \infty}A^k = 0</math>, dal teorema della [[forma canonica di Jordan|teorema normaldi formJordan]] theorem, weper knowogni thatmatrice fora anyvalori complexnel valuedcampo matrixcomplesso <math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>, aesistono una matrice non-singular matrixsingolare <math>V \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> ande una matrice a block-diagonalblocchi matrixdiagonale <math>J \in \mathbb{C}^{n \times n}</math> exist suchtali thatche:
:<math>A = VJV^{-1}</math>
con:
with
:<math>J=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}</math>
dove:
where
:<math>J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i
\end{bmatrix}\in \mathbb{C}^{m_i,m_i}, 1\leq i\leq s.</math>
Si vede che:
It is easy to see that
:<math>A^k=VJ^kV^{-1}</math>
and,e sincedato che <math>J</math> isè diagonale a block-diagonal,blocchi:
:<math>J^k=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}</math>
Now,Un anoto standardrisultato resultriguardante onla the <math>''k</math>''-poweresima potenza ofdi anun blocco di Jordan <math>m_i \times m_i</math> Jordan block statesstabilisce that,che forper <math>k \geq m_i-1</math> si ha:
:<math>J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}</math>
ThusIn questo modo, ifse <math>\rho(A) < 1</math> thenallora <math>|\lambda_i| < 1 \forall i</math>, soin modo tale thatche:
:<math>\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0\ \forall i</math>
il che implica:
which implies
:<math>\lim_{k \to \infty}J^k = 0.</math>
Quindi:
Therefore,
:<math>\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V(\lim_{k \to \infty}J^k)V^{-1}=0</math>
On the otherD'altra sideparte, ifse <math>\rho(A)>1</math>, thereallora isvi atè leastalmeno oneun elementelemento in <math>J</math> whichche doesn'tnon remainrimane boundedlimitato asper <math>k</math> increasescrescente, soconcludendo provingla the second part of the statementdimostrazione. <math>\square</math>
-->
== Raggio spettrale per un operatore lineare limitato ==
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