Raggio spettrale: differenze tra le versioni
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In [[analisi numerica]] il raggio spettrale viene utilizzato per determinare se un [[metodo iterativo]] è [[Convergenza|convergente]] verso la soluzione di un problema. È dimostrato infatti che un metodo iterativo per la risoluzione di un [[sistema lineare]] (come il [[metodo di Jacobi]] o [[Metodo di Gauss-Seidel|quello di Gauss-Seidel]]) converge alla soluzione del sistema [[se e solo se]] il raggio spettrale della ''matrice di iterazione'' è strettamente minore di 1.
== Operatori lineari limitati ==▼
Per un [[operatore lineare continuo|operatore lineare]] [[operatore limitato|limitato]] <math>A</math> e una [[norma operatoriale]] <math>\| \cdot \|</math>, il raggio spettrale <math>\rho(A)</math> di <math>A</math> è dato da:▼
:<math>\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}</math>▼
== Matrici ==
Line 187 ⟶ 182:
:<math>\rho(A_1 A_2 \ldots A_n) \leq \rho(A_1) \rho(A_2)\ldots \rho(A_n)</math>
Inoltre, nel caso la norma matriciale sia consistente, grazie al lemma enunciato in precedenza si può rimpiazzare,
:<math> \rho(A) \leq \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon \qquad \forall k\geq N</math>
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:<math>\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)^+</math>
▲=== Operatori lineari limitati ===
===Esempio===▼
▲Per un [[operatore lineare continuo|operatore lineare]] [[operatore limitato|limitato]] <math>A</math> e una [[norma operatoriale]] <math>\| \cdot \|</math>, il raggio spettrale <math>\rho(A)</math> di <math>A</math> è dato da:
▲:<math>\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}</math>
Si consideri la matrice:
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