Spazio di Fréchet: differenze tra le versioni
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== Differenziazione in spazi di Fréchet ==
Se <math>X</math> e <math>Y</math> sono spazi di Fréchet, allora lo spazio <math>L(X,Y)</math> degli [[operatore lineare continuo|operatori lineari continui]] da <math>X</math> in <math>Y</math> ''non'' è uno spazio Fréchet. Questa è la maggiore distinzione tra la teoria degli [[spazio di Banach|spazi di Banach]] e quella degli spazi di Fréchet, che necessitano di una differente definizione di differenziazione con continuità: la [[derivata di Gâteaux
Siano <math>X</math> e <math>Y</math> spazi di Fréchet, <math>U</math> un aperto di <math>X</math>, <math>P : U \to Y</math> una funzione, <math>x \in U</math> e <math>h \in X</math>. Si dice che <math>P</math> è una funzione [[funzione differenziabile|differenziabile]] in <math>x</math> nella direzione <math>h</math> se esiste il limite:
:<math>D(P)(x)(h) = \lim_{t\to 0} \,\frac{1}{t}\Big(P(x+th)-P(x)\Big)</math>
Si dice che <math>P</math> è ''differenziabile con continuità'' in <math>U</math> se <math>D(P):U\times X \to Y</math> è una [[funzione continua]].
▲è una [[funzione continua]]. Dato che il [[topologia prodotto|prodotto]] di spazi di Fréchet è ancora uno spazio di Fréchet, si può definire la differenziazione di <math>D(P)</math> e definire quindi le derivate di ordine maggiore di <math>P</math>.
L'operatore di derivazione <math>P : C^\infty([0,1]) \to C^\infty([0,1])</math> definito da <math>P(f)=f'</math> è esso stesso [[Funzione liscia|infinitamente differenziabile]]. Allora la prima derivata è data da:
:<math>D(P)(f)(h) = h'</math>
per ogni coppia di elementi <math>f</math> e <math>h</math> in <math>C^\infty([0,1])</math>.
Se <math>P : U \to Y</math> è differenziabile con continuità allora l'[[equazione differenziale]]: :<math>x'(t) = P(x(t))
non ha necessariamente soluzioni, e se esistono possono non essere uniche. Questo è in forte contrasto con la situazione negli spazi di Banach.
Il [[
==Bibliografia==
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