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In matematica, uno spazio di Fréchet è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso che è completo rispetto a una metrica invariante sotto traslazione. Tali spazi prendono il nome dal matematico Maurice Fréchet. Sono diversi gli esempi di spazi di funzioni che sono spazi di Fréchet, tra i più rilevanti gli spazi di Banach, che sono completi rispetto alla metrica indotta dalla norma.

Indice

DefinizioneModifica

Gli spazi di Fréchet possono essere definiti in due modi equivalenti: il primo utilizza una metrica invariante sotto traslazione, il secondo una famiglia numerabile di seminorme.

Uno spazio vettoriale topologico   è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:

  • è localmente convesso;
  • la sua topologia può essere indotta da una metrica invariante rispetto a traslazioni, cioè una distanza   tale per cui   per tutti gli   questo significa che   è aperto se e solo se per ogni   esiste   tale che  
  • è uno spazio metrico completo.

Si nota che non vi è una nozione naturale di distanza tra due punti di uno spazio di Fréchet: differenti metriche invarianti sotto traslazione possono infatti indurre la medesima topologia.

In modo equivalente, uno spazio vettoriale topologico   è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:

  • è uno spazio di Hausdorff;
  • la sua topologia può essere indotta da una famiglia numerabile di seminorme  , con   intero non negativo, questo significa che   è aperto se e solo se per ogni   esistono   e   tali per cui  ;
  • è completo rispetto alla famiglia di seminorme.

Una successione   converge a   nello spazio di Fréchet definito da una famiglia di seminorme se e solo se converge a   rispetto a ognuna delle seminorme.

Costruzione di spazi di FréchetModifica

La seminorma   è una funzione definita da uno spazio vettoriale  a valori in   e che soddisfa le tre seguenti proprietà per tutti i vettori   e   in   e per ogni scalare  :

 
 
 

Se   implica  , allora   è di fatto una norma.

Le seminorme consentono di costruire spazi di Fréchet partendo da uno spazio vettoriale  , sul quale si definisce una famiglia numerabile di seminorme   con le seguenti proprietà:

  • se   e   per  , allora  
  • se   è una successione in   che è una successione di Cauchy rispetto ad ogni seminorma  , allora esiste   tale che   converge a   rispetto ad ogni seminorma  

La topologia indotta dalla famiglia numerabile di seminorme rende   uno spazio di Fréchet: la prima proprietà assicura che sia uno spazio di Hausdorff mentre la seconda che sia completo.

La medesima topologia può essere generata utilizzando una metrica completa invariante sotto traslazione definita da:

 

per ogni   Si nota che la funzione   mappa   in   in modo monotono, e dunque la precedente definizione assicura che la distanza   è "piccola" se e solo se esiste   abbastanza "grande" da fare in modo che   sia "piccola" per  .

Differenziazione in spazi di FréchetModifica

Se   e   sono spazi di Fréchet, allora lo spazio   degli operatori lineari continui da   in   non è uno spazio Fréchet. Questa è la maggiore distinzione tra la teoria degli spazi di Banach e quella degli spazi di Fréchet, che necessitano di una differente definizione di differenziazione con continuità: la derivata di Gâteaux.

Siano   e   spazi di Fréchet,   un aperto di  ,   una funzione,   e  . Si dice che   è una funzione differenziabile in   nella direzione   se esiste il limite:

 

Si dice che   è differenziabile con continuità in   se   è una funzione continua. Se   è differenziabile con continuità allora l'equazione differenziale:

 

non ha necessariamente soluzioni, e se esistono possono non essere uniche. Questo è in forte contrasto con la situazione negli spazi di Banach.

Il teorema della funzione inversa non è valido in spazi di Fréchet: un suo parziale sostituto è il teorema di Nash-Moser.

BibliografiaModifica

  • (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, 2ª ed., New York, McGraw-Hill inc., 1991, ISBN 0070542368.
  • (EN) Bourbaki, Topological vector spaces, Springer (1987) (Translated from French)
  • (EN) J.L. Kelley, I. Namioka, Linear topological spaces, Springer (1963)
  • (EN) G. Köthe, Topological vector spaces, 1, Springer (1969)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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