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Metodo delle variazioni delle costanti: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|settembre 2012}}
In [[analisi matematica]], il '''metodo delle variazione delle costanti''' (o di Lagrange) è un metodo generale che consente di determinare l'integrale generale di un'[[equazione differenziale lineare]] di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua <math>f(t)</math> che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema.
 
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==Equazioni del primo ordine==
=== Descrizione generale ===
Una [[equazione differenziale]] del primo ordine in forma normale è del tipo:
 
:<math>y'(t) + a(t)y(t) = f(t).\, </math>
Il '''metodo di variazione delle costanti''' consiste nella ricerca di soluzioni del tipo▼
 
:<math>\displaystyle \tilde{y} = c(t)e^{-A(t)}</math> ▼
▲Il '''metodo di variazione delle costanti''' consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:
ottenute a partire da una soluzione dell'equazione omogenea associata ▼
 
:<math>y'(t) + a(t)y(t) = 0. </math>▼
▲:<math>\displaystyle \tilde{y} = c(t)e^{-A(t)}</math>
del tipo▼
 
▲ottenute a partire da una soluzione dell'equazione omogenea associata :
 
▲:<math>y'(t) + a(t)y(t) = 0. </math>
 
▲del tipo:
 
:<math> y(t) = ce^{-A(t)}</math>
dove <math>A(t)</math> è una primitiva di <math>a(t)</math> e <math>c</math> è una costante arbitraria.
Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che la costante <math>c</math> viene trasformata in una funzione <math>c(t)</math> da determinare.▼
 
▲dove <math>A(t)</math> è una primitiva di <math>a(t)</math> e <math>c</math> è una costante arbitraria. Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che la costante <math>c</math> viene trasformata in una funzione <math>c(t)</math> da determinare.
=== Il metodo ===
 
Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di <math>\tilde{y} </math> nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la [[derivata]] prima, usando la [[regola di Leibniz]]:
 
:<math>\tilde{y}'(t) = c'(t)y(t) + c(t)y'(t). </math>.
 
Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:
 
:<math> c'(t)y(t) + c(t)y'(t) + a(t)\tilde{y} = f(t)\, </math>
da cui, sostituendo: ▼
 
:<math> c'(t)e^{-A(t)} - c(t)a(t)e^{-A(t)} + c(t)a(t)e^{-A(t)} = f(t)\, </math>▼
▲da cui, sostituendo:
 
▲:<math> c'(t)e^{-A(t)} - c(t)a(t)e^{-A(t)} + c(t)a(t)e^{-A(t)} = f(t)\, </math>
 
Semplificando si ottiene:
 
:<math> c'(t)e^{-A(t)} = f(t)</math>
 
Isolando ciò che ci interessa e integrando entrambi i membri:
 
:<math> c(t) = \int f(t) e^{A(t)} dt\ </math>
 
da cui l'integrale generale dell'equazione completa è:
 
:<math>\tilde{y} =e^{-A(t)}\int f(t) e^{A(t)} dt\ . </math>
 
A questo punto l'unica difficoltà è il calcolo di un integrale che può non essere immediato, o addirittura, non risolvibile con metodi analitici.
 
==Equazioni del secondo ordine==
=== Descrizione generale ===
Una [[equazione differenziale]] del secondo ordine è del tipo:
 
:<math>y''(t) + a(t)y'(t) + b(t)y(t) = f(t).\, </math>
Il '''metodo di variazione delle costanti''' in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo: ▼
 
▲Il '''metodo di variazione delle costanti''' in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:
 
:<math>\displaystyle \tilde{y} = c_1 (t) y_1 (t) + c_2 (t) y_2 (t) </math>
 
costruite a partire da due soluzioni:
costruite a partire da due soluzioni <math>y_1 (t)</math> e <math> y_2 (t) </math> dell'equazione omogenea associata:
 
dell'equazione omogenea associata:
:<math>y''(t) + a(t)y'(t) + b(t)y(t) = 0. </math>
 
Poiché spesso l'equazione omogenea associata è di più semplice risoluzione, questo metodo risulta essere utile in molti casi concreti.
 
=== Il metodo ===
Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di <math>\tilde{y} </math> nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la [[derivata]] prima, usando la [[regola di Leibniz]]:
 
:<math>\tilde{y}'(t) = c_1'(t) y_1(t) + c_2'(t) y_2(t) + c_1(t) y_1'(t) + c_2(t) y_2'(t). </math>
 
Al fine di semplificare i calcoli, si impone la condizione seguente:
 
:<math>c_1'(t) y_1(t) + c_2'(t) y_2(t) =0.\, </math>
 
Questo fa sì che risulti:
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e di conseguenza:
 
:<math> \tilde{y}''= c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) + c_1(t) y_1''(t) + c_2(t) y_2''(t). </math>
 
Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:
 
:<math> (c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) + c_1(t) y_1''(t) + c_2(t) y_2''(t)) + a(c_1(t) y_1'(t) + c_2(t) y_2'(t)) + b(c_1(t) y_1(t) +c_2(t) y_2(t))=f(t)\, </math>
 
e quindi:
 
:<math> c_1(t) (y_1''(t) + ay_1'(t) + by_1(t)) + c_2(t) (y_2''(t) + ay_2'(t) + by_2(t)) + (c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t)) =f(t). \, </math>
 
I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché <math> y_1(t) </math> e <math> y_2(t) </math> sono soluzioni dell'equazione omogenea, quindi il tutto si riduce a:
 
:<math> c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) = f(t) \, </math>
 
Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite <math> c_1' </math> e <math>c_2' </math>:
 
:<math> \left \{ \begin{matrix} c_1'(t) y_1(t) + c_2'(t) y_2(t) =0 \\
c_1'(t) y_1'(t) + c_2'(t) y_2'(t) = f(t). \end{matrix} \right. </math>
 
Il [[determinante]] della [[matrice]] :
 
:<math> \left ( \begin{matrix} y_1(t) & y_2(t) \\
y_1'(t) & y_2'(t) \end{matrix} \right ) </math>
è il [[Wronskiano]] di <math> y_1(t) </math> e <math> y_2(t) </math>: questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:▼
 
▲è il [[Wronskianowronskiano]] di <math> y_1(t) </math> e <math> y_2(t) </math>: questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:
:<math> c_1'(t) = \frac{-y_2(t) f(t)}{y_2'(t) y_1(t) - y_1'(t) y_2(t)} \qquad \qquad c_2'(t) = \frac{y_1(t) f(t)}{y_2'(t) y_1(t) - y_1'(t) y_2(t)} \, </math>▼
 
▲:<math> c_1'(t) = \frac{-y_2(t) f(t)}{y_2'(t) y_1(t) - y_1'(t) y_2(t)} \qquad \qquad c_2'(t) = \frac{y_1(t) f(t)}{y_2'(t) y_1(t) - y_1'(t) y_2(t)} \, </math>
 
Integrando <math> c_1'(t) </math> e <math> c_2'(t) </math> si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell'equazione di partenza (integrando definitamente) o l'integrale generale dell'equazione di partenza (integrando indefinitamente).
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:<math>\sum_{i=1}^n y_i(x) \, \int \frac{W_i(x)}{W(x)} dx</math>
 
==Bibliografia==
* {{en}}{{cite book | last1=Coddington | first1=Earl A. | last2=Levinson | first2=Norman | title=Theory of Ordinary Differential Equations | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | year=1955}}
* {{en}}{{cite book | title = Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 8th Edition | first1 = W. E. | last1 = Boyce | first2 = R. C. | last2 = DiPrima | publisher = Wiley Interscience | year = 1965}}, pages 186-192, 237-241
* {{en}}{{cite book
| surname = Teschl
| given = Gerald
|authorlink=Gerald Teschl
| title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
| publisher=[[American Mathematical Society]]
| place = [[Providence, Rhode Island|Providence]]
| year =
| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
 
==Voci correlate==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_variazioni_delle_costanti"