Metodo delle variazioni delle costanti

In analisi matematica, il metodo di variazione delle costanti o metodo di Lagrange è una procedura generale che consente di determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema.

Il metodo è qui illustrato inizialmente per equazioni del primo e del secondo ordine, e quindi generalizzato a equazioni di ordine n arbitrario. La variabile da cui dipende la funzione incognita è chiamata in tutti gli esempi .

Equazioni del primo ordineModifica

Una equazione differenziale del primo ordine in forma normale è del tipo:

 

Il metodo di variazione delle costanti consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

 

ottenute a partire da una soluzione dell'equazione omogenea associata:

 

del tipo:

 

dove   è una primitiva di   e   è una costante arbitraria. Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che la costante   viene trasformata in una funzione   da determinare.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di   nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

 

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

 

da cui, sostituendo:

 

Semplificando si ottiene:

 

Isolando ciò che ci interessa e integrando entrambi i membri:

 

da cui l'integrale generale dell'equazione completa è:

 

A questo punto l'unica difficoltà è il calcolo di un integrale che può non essere immediato, o addirittura, non risolvibile con metodi analitici.

Equazioni del secondo ordineModifica

Una equazione differenziale del secondo ordine è del tipo:

 

Il metodo di variazione delle costanti in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

 

costruite a partire da due soluzioni   e   dell'equazione omogenea associata:

 

Poiché spesso l'equazione omogenea associata è di più semplice risoluzione, questo metodo risulta essere utile in molti casi concreti.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di   nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

 

Al fine di semplificare i calcoli, si impone la condizione seguente:

 

Questo fa sì che risulti:

 

e di conseguenza:

 

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

 

e quindi:

 

I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché   e   sono soluzioni dell'equazione omogenea, quindi il tutto si riduce a:

 

Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite   e  :

 

Il determinante della matrice:

 

è il wronskiano di   e  : questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:

 

Integrando   e   si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell'equazione di partenza (integrando definitamente) o l'integrale generale dell'equazione di partenza (integrando indefinitamente).

Equazioni di ordine nModifica

Nel caso di equazioni di ordine n:

 

si considerano le n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea e si cerca una soluzione particolare dell'equazione nella forma:

 

Si risolve quindi il sistema lineare nelle n incognite  :

 

Il determinante di questo sistema viene detto determinante wronskiano e, come sopra, si può dimostrare che è sempre non nullo a partire dall'indipendenza delle soluzioni dell'equazione omogenea. Si determinano le funzioni incognite integrando gli n termini soluzioni del sistema di cui sopra, per ricavare l'integrale generale dell'equazione.

Nello specifico, data un'equazione ordinaria lineare non omogenea:

 

sia   un sistema fondamentale di soluzioni della corrispondente equazione omogenea:

 

Allora una soluzione particolare dell'equazione non omogenea è data da:

 

dove   sono funzioni differenziabili che si assume soddisfino le condizioni:

 

Considerando la soluzione particolare dell'equazione omogenea, differenziando ripetutamente e utilizzando le condizioni precedenti:

 

Con un'ultima differenziazione si ha:

 

Sostituendo quindi la soluzione particolare nell'equazione di partenza e applicando le ultime due relazioni si ottiene:

 

Questa equazione e la precedente sono sistemi lineari che possono essere risolti con la regola di Cramer:

 

dove   è il wronskiano del sistema fondamentale di soluzioni e   è il wronskiano del sistema fondamentale con l'i-esima colonna rimpiazzata da  .

La soluzione particolare dell'equazione non omogenea può essere scritta come:

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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