Metodo delle variazioni delle costanti: differenze tra le versioni

In [[analisi matematica]], il '''metodo delle variazione delle costanti''' (o '''metodo di Lagrange)''' è ununa metodoprocedura generale che consente di determinare l'[[Equazione integrale|integrale]] generale di un'[[equazione differenziale lineare]] di qualunque ordine e qualunque sia la [[funzione continua ]] <math>f(t)</math> che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema.

Il metodo è qui illustrato inizialmente per equazioni del primo e del secondo ordine, e quindi generalizzato a equazioni di ordine ''n'' arbitrario. La [[variabile (matematica)|variabile]] da cui dipende la [[funzione (matematica)|funzione]] incognita <math>y</math> è chiamata in tutti gli esempi <math>t</math>.

:<math>y^{(n)}(xt) + \sum_{i=0}^{n-1} a_i(xt) y^{(i)}(xt) = b(xt)</math>

sia <math>y_1(x), t\ldots, y_n(xt)</math> un sistema fondamentale di soluzioni della corrispondente equazione omogenea:

:<math>y^{(n)}(xt) + \sum_{i=0}^{n-1} a_i(xt) y^{(i)}(xt) = 0</math>

:<math>y_p(xt) = \sum_{i=1}^{n} c_i(xt) y_i(xt)</math>

dove <math>c_i(xt)</math> sono funzioni differenziabili che si assume soddisfino le condizioni:

:<math>\sum_{i=1}^{n} c_i'(xt) y_i^{(j)}(xt) = 0 \qquad j = 0,\ldots, n-2</math>

:<math>y_p^{(j)}(xt) = \sum_{i=1}^{n} c_i(xt) y_i^{(j)}(xt) \qquad j=0,\ldots,n-1 </math>

:<math>y_p^{(n)}(xt)=\sum_{i=1}^n c_i'(xt)y_i^{(n-1)}(xt)+\sum_{i=1}^n c_i(xt) y_i^{(n)}(xt)</math>

:<math>\sum_{i=1}^n c_i'(xt) y_i^{(n-1)}(xt) = b(xt)</math>

:<math>c_i'(xt) = \frac{W_i(xt)}{W(xt)} \qquad i=1,\ldots,n</math>

dove <math>W(xt)</math> è il wronskiano del sistema fondamentale di soluzioni e <math>W_i(xt)</math> è il wronskiano del sistema fondamentale con l'i-esima colonna rimpiazzata da <math>(0, 0, \ldots, b(xt))</math>.

:<math>\sum_{i=1}^n y_i(xt) \, \int \frac{W_i(xt)}{W(xt)} dx</math>