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Riga 14: :<math>(fg)(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau= \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau)g(\tau) d\tau </math> dove <math>\int_{-\infty}^{\infty}</math> denota l'[[integrale\|integrale definito]] ~~su tutto l~~sull'insieme dei [[numeri reali]]. Le limitazioni poste alle funzioni <math>f</math> e <math>g</math> assicurano che l'integrale sia un [[numero reale]]. È cioè l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle funzioni di partenza è stata rovesciata e traslata, e si può considerare una forma di [[trasformata integrale]]. L'ultimo passaggio si può dimostrare considerando <math>(t-\tau) = \tau'</math>: operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare <math>\tau'</math> con il nome di <math>\tau</math>. Spesso alla variabile <math>t</math> si fa corrispondere il tempo, ed in tale contesto la convoluzione può essere descritta come la media pesata della funzione <math>f(\tau)</math> all'istante <math>t</math>, dove la funzione peso è <math>g(-\tau)</math> traslata di un intervallo <math>t</math>, ed al cambiare di <math>t</math> la funzione peso enfatizza parti diverse di <math>f</math>. Riga 76: è ben definita solo se <math>f</math> e <math>g</math> decrescono all'infinito abbastanza rapidamente da garantire l'esistenza dell'integrale. Se <math>f</math> e <math>g</math> sono [[Funzione a supporto compatto\|funzioni a supporto compatto]], ovvero sono funzioni (in questo caso [[funzione continua\|continue]]) che hanno per [[~~Supporto_~~Supporto (matematica)\|supporto]] un [[spazio compatto\|sottoinsieme compatto]] dell'insieme di definizione, allora la loro convoluzione esiste ed è continua a supporto compatto. Più in generale, se una delle due è a supporto compatto mentre l'altra è localmente integrabile, la loro convoluzione esiste ed è continua. Se <math>f</math> e <math>g</math> sono [[integrale di Lebesgue\|Lebesgue-integrabili]] (in <math>L^1(\R^n)</math>) allora per il [[teorema di Tonelli]] la loro convoluzione è integrabile. Se <math>f \in L^1(\R^d)</math> e <math>g \in L^p(\R^d)</math>, con <math>1 \le p \le \infty</math>, allora <math>( f g ) \in L^p(\R^d)</math> e si ha: Riga 100: Più in generale, si può estendere la definizione convoluzione unicamente in modo che la proprietà associativa: :<math>f(g\varphi) = (fg)\varphi\,</math> rimanga valida anche qualora <math>f</math> sia una distribuzione e <math>g</math> una distribuzione a supporto compatto.

Convoluzione: differenze tra le versioni