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Rotazione nel piano complesso: differenze tra le versioni

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Notiamo che:
*Se l’angolol'angolo di rotazione è pari a <math>0</math>, o a un multiplo di <math>2\pi</math>, la relativa rotazione lascia invariato ogni punto del piano complesso: si tratta della [[Funzione identità|trasformazione identica]]
 
*La rotazione corrispondente a <math> \vartheta </math> + <math> \varrho</math> equivale alla composizione delle due rotazioni individuate da <math>\vartheta</math> e <math>\varrho</math>
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===Casi particolari===
*Se l’angolol'angolo di rotazione è pari a <math>\pi / 2</math>, allora
 
:<math>a=e^{i { \pi \over 2}}=\cos \left({\pi \over 2}\right)+i \, \mathrm{sen} \left({\pi \over 2}\right)= i </math>
 
quindi: la rotazione di centro l’originel'origine degli assi <math>O</math> e di ampiezza <math>\pi / 2</math> coincide con la moltiplicazione per l’l'[[unità immaginaria]] <math>i</math>:
 
:<math>\begin{matrix}\rho_{O,{\pi \over 2}}:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto&z'&=e^{i { \pi \over 2}}z=iz\end{matrix}</math>
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i \, \mathrm{sen} \left( \varphi + {\pi \over 2}\right) \right ]= \rho e^{i \left( \varphi + {\pi \over 2}\right)}.</math>
 
*Se l’angolol'angolo di rotazione è pari a <math>\pi</math>, allora
 
:<math>a=e^{i \pi}=
\cos \left( \pi \right)+i \, \mathrm{sen} \left(\pi \right)=-1</math>
 
quindi la rotazione di centro l’originel'origine degli assi <math>O</math> e di ampiezza <math>\pi</math> è data da:
 
:<math>\begin{matrix}\rho_{O,{\pi}}:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto&z'&=e^{i \pi}z=-z\end{matrix}.</math>
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:<math>z'=-z= \rho \left [\cos \left( \varphi + \pi \right) + i \, \mathrm{sen} \left( \varphi + \pi \right) \right ]= \rho e^{i \left( \varphi + {\pi}\right)}.</math>
 
Quindi la rotazione di centro l’originel'origine degli assi <math>O</math> e di ampiezza <math>\pi</math> equivale alla simmetria rispetto all'origine.
 
*Se l’angolol'angolo di rotazione è pari a <math>{3 \over 2}\pi</math>, allora
 
:<math>a=e^{i {3 \over 2}\pi}=\cos \left({3 \over 2}\pi \right)+i \, \mathrm{sen} \left({3 \over 2}\pi \right)=-i</math>
 
quindi la rotazione di centro l’originel'origine degli assi <math>O</math> e di ampiezza <math>{3 \over 2}\pi</math> è:
 
:<math>\begin{matrix}\rho_{O,{3 \over 2}\pi}:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto&z'&= e^{i {3 \over 2}\pi} z=-iz\end{matrix}</math>
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Rotazione_nel_piano_complesso"