Classe C di una funzione: differenze tra le versioni
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In [[analisi matematica]], la '''classe C di una funzione''' indica l'appartenenza di una [[funzione di variabile reale]] all'insieme delle funzioni [[derivata|derivabili]] con [[funzione continua|continuità]] per un certo numero di volte. Si dice che una funzione definita su un insieme <math>A</math> è classe <math>C^k(A)</math> se in <math>A</math> esistono tutte le derivate fino al k-esimo ordine, e la k-esima è continua. Si tratta, sostanzialmente, dello spazio delle [[Funzione differenziabile|funzioni differenziabili]]. Il sottoinsieme delle funzioni le cui prime k derivate sono [[funzione limitata|limitate]] è uno [[spazio vettoriale]].
La derivabilità rispetto ad una variabile garantisce la continuità della funzione rispetto a tale variabile, sicché lo spazio <math>C^1(\R)</math> delle funzioni differenziabili con continuità sul campo reale è contenuto nello spazio <math>C^0(\R)</math> delle funzioni continue. In generale, <math>C^k </math> è contenuto in <math>C^{k-1}</math> per ogni <math>k</math>.
Di particolare importanza è l'insieme <math>C^\infty</math> delle [[funzione liscia|funzioni lisce]], tra le quali vi sono i [[Polinomio|polinomi]], e l'insieme <math>C^\omega</math> delle [[Funzione analitica|funzioni analitiche]], definite come le funzioni lisce che sono uguali alla loro espansione in [[serie di Taylor]] attorno ad ogni punto del dominio.
==Definizione==
L'appartenenza di una [[funzione di variabile reale]] <math>f:A\subseteq\R^m \rightarrow \
:<math>\frac{\partial f_i}{\partial x_r} \in C^{k-1}(A) \qquad \forall r=1,
dove <math>f_i</math> è la proiezione di <math>f</math> sulla <math>i</math>-esima componente. Formalmente, <math>f_i=\pi_i \circ f</math> con:
:<math> \pi_i \colon \
La notazione <math>C^k (A)</math> può essere abbreviata semplicemente in <math>f\in C^k</math> se il dominio è ben noto.
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In [[notazione di Lagrange]], <math>f \in C^k (A)</math> se e solo se:
:<math>f_{x_r}^{(n)}\in C^0(A) \qquad r=1,
Infine, una funzione è di classe <math>C^0</math> (o più brevemente, è <math>C^0</math>) se è una [[funzione continua]].
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Dal punto di vista dell'[[analisi funzionale]], se <math>\Omega</math> è un [[insieme compatto]] in <math>\mathbb{R}^d</math> (<math>d</math> [[numero naturale|naturale]]), lo [[spazio di funzioni|spazio]] <math>C^k(\Omega)</math> delle funzioni definite in <math>\Omega</math> a valori [[numero reale|reali]] (o [[numero complesso|complessi]]) di classe <math>k</math> è uno [[spazio lineare]]; con la [[norma (matematica)|norma]] (''norma lagrangiana'' di ordine <math>k</math>)
:<math>\|f\|_{C^{k}(\Omega)}=\begin{cases} \max_{\Omega}|f| & \
risulta essere uno [[spazio di Banach]]; <math>\mathrm{D}^{\alpha}f</math> è la derivata <math>\alpha</math>-esima di <math>f</math> espressa nella [[notazione multi-indice]].
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==Esempi==
* L'[[esponenziale]] è una funzione di classe <math>C^{\infty} (\R)</math>, in quanto ha ogni derivata uguale a se stessa.
* L'identità è di classe <math>C^{\infty} (\R)</math>, in quanto ha derivata prima costante
* La [[tangente (matematica)|tangente]] è una funzione di classe <math>C^{\infty} (\R \setminus \left \{ \pi /2 + \pi \Z \right \})</math>, cioè in tutto il suo insieme di definizione.
* La funzione <math>|x|</math> è di classe <math>C^0</math>; essa appartiene a <math>C (\
* La funzione <math>|x|^p</math> è di classe <math>C^k</math>
==Bibliografia==
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