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Riga 1: In [[matematica]], una '''matrice simplettica''' è una [[matrice (matematica)\|matrice]] <math>M</math> di dimensione <math>2n \times 2n</math> (i cui elementi sono tipicamente [[numero reale\|reali]] o [[numero complesso\|complessi]]) che soddisfa la condizione: :<math>M^T ~~\Omega M~~JM = ~~\Omega~~J</math> dove <math>M^T</math> indica la [[matrice trasposta]] di <math>M</math> e <math>~~\Omega~~J</math> è la [[matrice antisimmetrica]] <math>2n \times 2n</math>: :<math>~~\Omega~~J = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ Riga 11: \end{bmatrix}</math> Qui <math>I_n</math> è la [[matrice identità]] <math>n \times n</math>. Si noti che <math>~~\Omega~~J</math> ha [[determinante]] <math>+1</math> ed elevata al quadrato è l'opposto della matrice identità: <math>QJ^2 = -I_{2n}</math> Alcuni autori preferiscono usare una <math>~~\Omega~~J</math> differente per la definizione delle matrici simplettiche. L'unica proprietà essenziale è che Ω<math>J</math> sia una matrice antisimmetrica [[matrice non singolare\|non singolare]]. L'alternativa più comune è la forma a [[matrice a blocchi\|blocchi diagonali]]: :<math>~~\Omega~~J = \begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\ & \ddots & \\ Riga 21: \end{bmatrix}</math> Si noti che questa scelta si differenzia dalla precedente per una [[permutazione]] dei vettori della base. Infatti, ogni scelta di <math>~~\Omega~~J</math> può essere portata in una delle due forme precedenti con una differente scelta della base. ~~Vedi~~Vedere la formulazione astratta più avanti nella sezione delle trasformazioni simplettiche. ==Proprietà== Ogni matrice simplettica ha un'[[matrice inversa\|inversa]] data da: :<math>M^{-1} = ~~\Omega~~J^{-1} M^T ~~\Omega~~J</math> Inoltre, il [[moltiplicazione di matrici\|prodotto]] di due matrici simplettiche è ancora una matrice simplettica. Questo fatto attribuisce all'insieme di tutte le matrici simplettiche la struttura di [[gruppo (matematica)\|gruppo]]. Esiste una struttura naturale di [[varietà differenziabile\|varietà]] su questo gruppo che produce un [[gruppo di Lie]] (reale o complesso) chiamato [[gruppo simplettico]]. Il gruppo simplettico ha dimensione <math>n (2n +1)</math>. Usando il [[teorema di Binet]], segue immediatamente dalla definizione che il [[determinante]] di ogni matrice simplettica è ±<math>\pm 1</math>; più precisamente, si dimostra che vale <math>1</math> attraverso l'uso del [[pfaffiano]] e dell'identità: :<math>\mbox{Pf}(M^T ~~\Omega M~~JM) = \det(M)\mbox{Pf}(~~\Omega~~J)</math> Poiché <math>M^T ~~\Omega M~~JM = ~~\Omega~~J</math> e <math>\mbox{Pf}(~~\Omega~~J) \neq 0</math> si ha che <math>\det(M) = 1</math>. Sia <math>M</math> una [[matrice a blocchi]] <math>2n \times 2n</math> data da: Riga 47: ==Trasformazioni simplettiche== Nella formulazione astratta dell'[[algebra lineare]], le matrici sono sostituite da [[trasformazione lineare\|trasformazioni lineari]] di [[spazio vettoriale\|spazi vettoriali]] a dimensioni finite. L'analogo astratto di una matrice simplettica è una ''trasformazione simplettica'' di uno [[spazio vettoriale simplettico]]. In breve, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale ~~2''n''~~<math>2n</math>-dimensionale <math>V</math> dotato di una [[forma bilineare antisimmetrica]] [[forma bilineare\|non degenere]] <math>\omega</math>. Una trasformazione simplettica è quindi una trasformazione lineare <math>f : V \to V</math> che preserva <math>\omega</math>, cioè: Riga 53: :<math>\omega(f(x), f(y)) = \omega(x, y)</math> Fissando una [[base (algebra lineare)\|base]] per <math>V</math>, <math>\omega</math> può essere scritta come una matrice <math>~~\Omega~~J</math> e <math>f</math> come una matrice <math>M</math>. La condizione che <math>f</math> sia una trasformazione simplettica è proprio che <math>M</math> sia una matrice simplettica: :<math>M^T ~~\Omega M~~JM = ~~\Omega~~J</math> Effettuando un [[cambio di base]], rappresentato da una matrice <math>A</math>, si ha: :<math>~~\Omega~~J \mapsto A^T ~~\Omega A~~JA \qquad M \mapsto A^{-1} M A.</math> Si può sempre portare <math>~~\Omega~~J</math> in una delle due forme standard date nell'introduzione con una scelta opportuna di <math>A</math>. == Bibliografia ==

Matrice simplettica: differenze tra le versioni