Funzione indicatrice: differenze tra le versioni

In [[matematica]], nel campo della [[teoria degli insiemi]], se <math>A</math> è un sottoinsieme dell'insieme <math>X</math>, la '''funzione indicatrice''', o '''funzione caratteristica''' di <math>A</math> è quella funzione da <math>X</math> all'insieme <math>\{ 0, 1 \}</math> che sull'elemento <math>x \in X</math> vale <math>1</math> se <math>x</math> appartiene ad ''<math>A'',</math> e vale <math>0</math> in caso contrario.

La funzione indicatrice di un sottoinsieme ''<math>A''</math> di ''<math>X''</math> è una funzione

La funzione indicatrice di ''<math>A''</math> è talvolta indicata con <math>\chi_A(x)</math> oppure <math>I_A(x).</math>

La mappafunzione che associa un sottoinsieme ''<math>A''</math> di ''<math>X''</math> alla sua funzione indicatrice 1<submath>''A''\mathbf{1}_A</submath> è [[funzione iniettiva|iniettiva]]; il suo codominio è l'insieme delle funzioni <math>\mathbf{f}:\colon X \to \lbrace{ 0,1 \rbrace}.</math>.

Se ''<math>A''</math> e ''<math>B''</math> sono due sottoinsiemi di ''<math>X'',</math> allora

Più in generale, supponiamo che ''A''<sub>1</submath>A_1, ...\ldots, ''A''<sub>''n''A_n</submath> sia una collezione di sottoinsiemi di ''<math>X''.</math> Per ogni <math>x\in X</math> si ha che il prodotto

:<math> \prod_{k \in I=1}^n ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))</math>

è chiaramente un prodotto di zeri<math>0</math> e uni<math>1. </math> Questo prodotto ha il valore <math>1</math> proprio in corrispondenza degli ''<math>x''\in ∈ ''X''</math> che non appartengono a nessuno degli insiemi ''A''<submath>''k''A_k</submath> ed è <math>0</math> altrove. Cioè

:<math> \prod_{k \in I=1}^n ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.</math>

: <math> \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptysetvarnothing \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} </math>

Dove <math>|''F''|</math> è la cardinalità di ''<math>F''.</math> Questa è una delle forme del [[principio di inclusione-esclusione]].

Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella [[combinatoria]]. La notazione è usata in altri casi, ad esempio in [[teoria della probabilità]]: se ''<math>X''</math> è uno [[spazio di probabilità]] con misura di probabilità ''<math>P''</math> e ''<math>A''</math> è un [[misura (matematica)|insieme misurabile]], allora ''1<submath>A\mathbf{1}_A</submath>'' diventa una [[variabile casuale]] la cui [[Valore atteso|media]] è uguale alla probabilità di ''<math>A'':</math>

:<math>E(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,dP = \int_{A} dP = P(A).\quad </math>

:<math>\mathbf{1}_A(x)=\mathbf{1}_{X^+}(x)=\mathrm{sgn}\left(\mathrm{sgn}(x)+1\right).</math>