Dimostrazione della irrazionalità di e: differenze tra le versioni

<ref>[https://arxiv.org/pdf/math/0601660.pdf A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e]</ref><ref>{{Cita pubblicazione|cognome= Cohn |nome= Henry |rivista= [[American Mathematical Monthly]] |volume= 113 |numero= 1 |pp= 57–62 |editore= [[Mathematical Association of America]] |anno= 2006 |titolo= A short proof of the simple continued fraction expansion of ''e'' | jstor = 27641837 | doi=10.2307/27641837}}</ref> PoichèPoiché la frazione continua di <math>e</math> non è periodica, questo dimostra anche che <math>e</math> non è radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali; in particolare, <math>e^2</math> è irrazionale.

Questa disuguaglianza è stretta per ogni <math>n\geq b+2 </math>. Cambiando l'indice della sommatoria in <math>k=n-b</math> e utilizzando la formula della [[serie geometrica]], si ottiene

Si può ottenere un'altra dimostrazione <ref>{{Cita pubblicazione|cognome1= MacDivitt |nome1= A. R. G. |cognome2= Yanagisawa |nome2= Yukio |titolo= An elementary proof that ''e'' is irrational |rivista= The Mathematical Gazette |volume= 71 |numero= 457 |pp= 217 |anno= 1987 |editore=Mathematical Association |città= London | jstor = 3616765 | doi=10.2307/3616765}}</ref> da quella precedente notando che

Un'altra dimostrazione ancora<ref>{{Cita pubblicazione|cognome= Penesi |nome= L. L. |anno= 1953 |titolo= Elementary proof that ''e'' is irrational |rivista= [[American Mathematical Monthly]] |editore= [[Mathematical Association of America]] |volume= 60 |numero= 7 |pp= 474 | jstor = 2308411 | doi = 10.2307/2308411 }}</ref> <ref>Apostol, T. (1974). Mathematical analysis (2nd ed., Addison-Wesley series in mathematics). Reading, Mass.: Addison-Wesley.</ref> deriva dal fatto che

Nel 1840, [[Joseph Liouville|Liouville]] pubblicò una dimostrazione dell'irrazionalità di <math>e^2</math> <ref>{{Cita pubblicazione|cognome= Liouville |nome= Joseph |rivista= Journal de Mathématiques Pures et Appliquées |titolo= Sur l'irrationalité du nombre ''e'' = 2,718… |serie= 1 |volume= 5 |pp= 192 |anno= 1840}}</ref> seguita dalla dimostrazione che quest'ultimo non è neanche una radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali.<ref>{{Cita pubblicazione|cognome= Liouville |nome= Joseph |rivista= Journal de Mathématiques Pures et Appliquées |titolo= Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre ''e'' |serie= 1 |volume= 5 |pp= 193–194 |anno= 1840}}</ref> Questo ultimo risultato implica che <math>e^4</math> è irrazionale. Le sue dimostrazioni erano simili a quella di Fourier dell'irrazionalità di <math>e</math>. Nel 1891, [[Adolf Hurwitz|Hurwitz]] spiegò come è possibile dimostrare attraverso la stessa strategia che <math>e</math> non è una radice di un polinomio di terzo grado a coefficienti razionali.<ref>{{Cita libro|cognome1= Hurwitz |nome1= Adolf |anno= 1933 |annooriginale= 1891 |titolo= Mathematische Werke |volume= 2 |capitolo= Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl ''e'' |editore= Birkhäuser |città= Basel |pp= 129–133}}</ref> In particolare, <math>e^3</math> è irrazionale.