Successione di Lucas

La successione di Lucas prende il nome dal matematico francese Édouard Lucas (1842 – 1891) che la ideò e ne studiò le proprietà.

In matematica, la successione di Lucas, indicata con è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono, per definizione, e . Questa successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la regola:

(per ogni n>2)

Gli elementi sono anche detti numeri di Lucas.

Pertanto i primi quindici termini della successione di Lucas sono:

La successione di Lucas ha la stessa relazione ricorsiva della successione di Fibonacci, dove ogni termine è la somma dei due termini precedenti, ma con valori iniziali diversi. Questo produce una successione in cui i rapporti dei termini successivi si avvicinano al rapporto aureo, e in effetti i termini stessi sono un arrotondamento di potenze intere del rapporto aureo.[1] La successione ha anche una varietà di relazioni con i numeri di Fibonacci, come il fatto che la somma di due numeri a due posizioni di distanza nella successione di Fibonacci dia per risultato il ​​numero di Lucas in mezzo.[2]

Proprietà principaleModifica

Il rapporto  , per   tendente all'infinito, tende al numero algebrico irrazionale   chiamato sezione aurea o numero di Fidia. In termini matematici:

 


dove

 

Non è noto se i numeri primi che sono anche numeri di Lucas siano o meno infiniti, ma si può dimostrare che ogni numero primo divide almeno uno, e di conseguenza infiniti, numeri di Lucas.

BibliografiaModifica

  • (EN) Thomas Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 2001. ISBN 0-471-39969-8

NoteModifica

  1. ^ (EN) Matt Parker, 13, in Things to Make and Do in the Fourth Dimension, Farrar, Straus and Giroux, 2014, p. 284, ISBN 978-0-374-53563-6.
  2. ^ (EN) Matt Parker, 13, in Things to Make and Do in the Fourth Dimension, Farrar, Straus and Giroux, 2014, p. 282, ISBN 978-0-374-53563-6.

Voci correlateModifica

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