T di Student multivariata

In statistica, la distribuzione t di Student multivariata è una distribuzione di probabilità multivariata. È una generalizzazione a vettori casuali della distribuzione t di Student, che è una distribuzione applicabile alle variabili casuali univariate. Mentre il caso di una matrice aleatoria potrebbe essere trattato all'interno di questa struttura, la distribuzione t di Student per matrici è distinta e fa particolare uso della struttura della matrice.

Definizione

Un metodo comune di costruzione di una distribuzione t di Student multivariata, per il caso di $p$ dimensioni, si basa sull'osservazione che se $\mathbf {y}$ e $u$ sono indipendenti e distribuiti come ${\mathcal {N}}({\mathbf {0} },{\boldsymbol {\Sigma }})$ e $\chi _{\nu }^{2}$ (cioè distribuzioni multivariate normali e chi-quadrate ) rispettivamente, la matrice $\mathbf {\Sigma } \,$ è una matrice p × p e ${\mathbf {y} }/{\sqrt {u/\nu }}={\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}$, poi ${\mathbf {x} }$ ha densità

${\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}$

e si dice che sia distribuita come una t di Student multivariata con parametri ${\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\mu }},\nu$ . Si noti che $\mathbf {\Sigma }$ non è la matrice di covarianza poiché la covarianza è data da $\nu /(\nu -2)\mathbf {\Sigma }$ (per $\nu >2$).

Nel caso speciale $\nu =1$, la distribuzione è una distribuzione di Cauchy multivariata.