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Funzione di densità di una normale multivariata

In teoria della probabilità e statistica, la distribuzione normale multivariata o distribuzione gaussiana multivariata o vettore gaussiano è una generalizzazione della distribuzione normale a dimensioni più elevate. Un vettore di variabili aleatorie ha una distribuzione normale multivariata se ogni combinazione lineare delle sue componenti ha distribuzione normale.

NotazioneModifica

La distribuzione normale multivariata di un vettore di variabili aleatorie k-dimensionale X = [X1, X2, …, Xk] viene indicata con la seguente notazione:

 

oppure, per esplicitare la dimensione del vettore:

 

Il vettore della media è

 

e la matrice di covarianza k x k

 

DefinizioneModifica

Si dice che un vettore di variabili aleatorie   ha densità multivariata normale se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:

  • Ogni combinazione lineare   ha distribuzione normale.
  • Esistono un vettore Z di variabili aleatorie di dimensione le cui componenti sono indipendenti e hanno distribuzione normale standard, un vettore μ di dimensione k e una matrice A k×ℓ tali che  
  • Esiste un vettore μ di dimensione k e una matrice semidefinita positiva   tali che la funzione caratteristica di X sia
 

Voci correlateModifica