Distribuzione normale multivariata

In teoria della probabilità e statistica, la distribuzione normale multivariata o distribuzione gaussiana multivariata o vettore gaussiano è una generalizzazione della distribuzione normale (univariata) a dimensioni più elevate. Una definizione è che un vettore di variabili aleatorie ha una distribuzione normale k-variata se ogni combinazione lineare delle sue k componenti ha distribuzione normale univariata. La sua importanza deriva principalmente dal teorema del limite centrale multivariato. La distribuzione normale multivariata è spesso utilizzata per descrivere, almeno approssimativamente, un qualunque insieme di variabili aleatorie a valori reali (possibilmente) correlate, ognuna delle quali è clusterizzata attorno ad un valore medio.

Funzione di densità di una normale multivariata

DefinizioniModifica

Notazione e parametrizzazioneModifica

La distribuzione normale multivariata di un vettore aleatorio k-dimensionale   può essere scritta secondo la notazione:

 

o, per rendere esplicito il fatto che   sia k-dimensionale,

 

con un vettore della media d dimensione k

 

e matrice di covarianza di dimensione  

 

per cui   La matrice inversa della matrice di covarianza è chiamata matrice di precisione, e si indica come  .

Vettore aleatorio normale standardModifica

Un vettore aleatorio a valori reali   è detto vettore aleatorio normale standard se tutte le sue componenti   sono indipendenti e ognuna è una variabile aleatoria normale di valore medio nullo e varianza unitaria, cioè se   per tutti i valori di  .[1]p. 454

Vettore aleatorio normale centratoModifica

Un vettore aleatorio a valori reali   è chiamato vettore aleatorio normale centrato se esiste una matrice deterministica   di dimensione   tale per cui   ha la stessa distribuzione di   dove   è un vettore aleatorio normale standard con   componenti.[1]p. 454

Vettore aleatorio normaleModifica

Un vettore aleatorio a valori reali   è detto vettore aleatorio normale se esistono un vettore aleatorio  -dimensionale  , che è un vettore aleatorio normale standard, un vettore  -dimensionale  , e una matrice   di dimensione  , tale per cui  .[2]p. 454[1]p. 455

Formalmente:

 

Da qui la matrice delle covarianze è  .

Nel caso degenere in cui la matrice delle covarianze fosse singolare, la distribuzione corrispondente non ha densità; vedi la sezione seguente per dettagli. Questa situazione capita frequentemente in statistica; per esempio, nella distribuzione dei vettori dei residui nel metodo di regressione dei minimi quadrati ordinario. Le   in genere non sono indipendenti; possono essere visti come il risultato dell'applicazione della matrice   all'insieme delle variabili gaussiane indipendenti  .

Definizioni equivalentiModifica

Le seguenti definizioni sono equivalenti alla definizione data in precedenza. Un vettore aleatorio   ha una distribuzione normale multivariata se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti.

  • Ogni combinazione lineare   delle proprie componenti è normalmente distribuita. Cioè, per un qualunque vettore costante  , il valore aleatorio   ha una distribuzione normale univariata, dove una distribuzione normale univariata con varianza nulla è un punto materiale sulla sua media.
  • Esistono un vettore k-dimensionale   e una matrice di dimensione   simmetrica e positiva semidefinita  , tali per cui la funzione caratteristica di   è
 

La distribuzione normale sferica può essere caratterizzata come l'unica distribuzione in cui le componenti siano indipendenti in un qualunque sistema di coordinate cartesiano.[3][4]

NoteModifica

  1. ^ a b c Amos Lapidoth, A Foundation in Digital Communication, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-19395-5.
  2. ^ Allan Gut, An Intermediate Course in Probability, Springer, 2009, ISBN 978-1-4419-0161-3.
  3. ^ M. Kac, On a characterization of the normal distribution, in American Journal of Mathematics, vol. 61, n. 3, 1939, pp. 726–728, DOI:10.2307/2371328, JSTOR 2371328.
  4. ^ Fabian Sinz, Sebastian Gerwinn e Matthias Bethge, Characterization of the p-generalized normal distribution, in Journal of Multivariate Analysis, vol. 100, n. 5, 2009, pp. 817–820, DOI:10.1016/j.jmva.2008.07.006.

Voci correlateModifica