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Distribuzione t di Student

distribuzione di probabilità continua
distribuzione di Student
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri (gradi di libertà)
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
dove è la funzione beta
Valore atteso se
non definita altrimenti
Mediana
Moda
Varianza se
infinita altrimenti
Indice di asimmetria se
non definita altrimenti
Curtosi se
infinita altrimenti
Entropia
dove è la funzione digamma e è la funzione beta
Funzione caratteristica[1]
dove è una funzione di Bessel

Nella teoria delle probabilità la distribuzione di Student, o t di Student, è una distribuzione di probabilità continua che governa il rapporto tra due variabili aleatorie, la prima con distribuzione normale e la seconda, al quadrato, segue una distribuzione chi quadrato.

Questa distribuzione interviene nella stima della media di una popolazione che segue la distribuzione normale, e viene utilizzata negli omonimi test t di Student per la significatività e per ogni intervallo di confidenza della differenza tra due medie.

Cenni storiciModifica

La distribuzione venne descritta nel 1908 da William Sealy Gosset, che pubblicò il suo risultato sotto lo pseudonimo "Student" perché la fabbrica di birra Guinness presso la quale era impiegato vietava ai propri dipendenti di pubblicare articoli affinché questi non divulgassero segreti di produzione. Il nome distribuzione di Student venne successivamente introdotto da Ronald Fisher.[2][3]

DefinizioneModifica

La distribuzione di Student con parametro   (gradi di libertà) governa la variabile aleatoria

 

dove   e   sono due variabili aleatorie indipendenti che seguono rispettivamente la distribuzione normale standard   e la distribuzione chi quadro   con   gradi di libertà.

StimatoriModifica

La media   e la varianza   di una popolazione   possono essere stimate tramite un suo campione di   elementi,   con gli stimatori

 
 

Supponiamo che le variabili aleatorie   che compongono il campione siano indipendenti e distribuite normalmente, allora   è una variabile normale   con valore atteso   e varianza  . Pertanto la variabile   così definita

 

seguirà una distribuzione normale standard,  . Il problema è che spesso non si conosce  , pertanto dovremo avere a che fare con uno stimatore della varianza come  .

Dimostreremo che la seguente variabile aleatoria

 

segue una distribuzione chi-quadro con   gradi di libertà,  .

Le due variabili aleatorie   e   sono indipendenti, per il teorema di Cochran.

Pertanto si definisce la variabile aleatoria

 

Tale variabile aleatoria segue una distribuzione di probabilità detta "t di Student".

Ricavare la distribuzione di tModifica

Cominciamo con il dimostrare che   è una variabile aleatoria di tipo chi-quadro. Ricordiamo che una distribuzione   è una particolare variabile di tipo gamma definita come segue

 

Dove   è la funzione Gamma di Eulero definita come   con  

Una variabile chi-quadro con n gradi di libertà si ottiene sommando   variabili normali standard   elevate al quadrato. Detto ciò partiamo dalla definizione della varianza campionaria e aggiungiamo e sottraiamo nell'argomento della sommatoria  , il valore aspettato della variabile aleatoria   che coincide con quello della variabile aleatoria  .

 

Definiamo i parametri   e   come   e riscriviamo la formula precedente

 

Ora possiamo esplicitare fuori dalle sommatorie tutti i termini che non dipendono da  , ovvero   e  

 
 

sapendo che la somma su tutti gli   è pari a  . Dividendo ora a destra e a sinistra per   otteniamo a destra delle variabili normali

 

Abbiamo quindi ottenuto a sinistra una variabile che precedentemente avevamo indicato con  , mentre a destra abbiamo somme di variabili normali standard al quadrato, coincidenti con una variabile chi quadro con   gradi di libertà e un'altra variabile normale anch'essa standard elevata al quadrato, ovvero una variabile chi-quadro ad un solo grado di libertà. Sapendo che somme di variabili di tipo chi-quadro con   e   gradi di libertà corrispondono ancora ad una variabile chi-quadro con   gradi di libertà otteniamo che la funzione di densità di probabilità di   è di tipo chi-quadro con   gradi di libertà.

Pertanto ora iniziamo a dire che

 

dove   è il numero di gradi di libertà, e che

 

Conosciuta la variabile aleatoria  , essa si riduce difatti ad un parametro moltiplicativo per la normale. Dalla definizione di probabilità condizionata si ha

 

dove

 

è una distribuzione chi-quadro con   gradi di libertà. Quindi

 

Notiamo che la funzione di distribuzione cercata non è altro che una funzione marginale di  , pertanto si ha

 
 

Ponendo una sostituzione con l'argomento dell'esponenziale, mantenendolo però negativo

 

otteniamo

 

l'integrale definito ha come risultato la funzione Gamma di Eulero stessa

 

Pertanto otteniamo al fine il nostro risultato

 

Notiamo che il limite di questa successione di funzioni per   è

 

Sapendo che il primo limite ha come risultato   e il secondo tende a  .

In pratica, prendendo una popolazione di numerosità   molto grande, la variabile aleatoria t tende ad essere una normale standard.

CaratteristicheModifica

La distribuzione di Student con   gradi di libertà è simmetrica, perché lo è la distribuzione normale standard mentre la distribuzione chi quadrato che funge da "parametro casuale di scala" non produce effetti di distorsione di tale simmetria.

La sua funzione di densità di probabilità è

 ,

dove   la funzione beta.

La sua funzione di ripartizione è

 

dove   è la funzione beta incompleta regolarizzata con

 

Per   i momenti (semplici o centrali, in quanto coincidono per una pdf simmetrica) di ordine   della distribuzione sono

  se   è dispari,
  se   è pari.

In particolare, oltre alla speranza matematica   e all'indice di asimmetria   (per  ) predetti dalla simmetria della distribuzione, si trovano:

  • la varianza   per  
  • l'indice di curtosi   per  

Consideriamo infine un ultimo parametro, il FWHM, ovvero la larghezza a mezza altezza. Per una variabile   di Student abbiamo che il picco della funzione è nel suo valore atteso, ovvero in  , dove la distribuzione ha valore massimo  . Per cui troviamo i valori di   per i quali   assume altezza pari a metà della massima assoluta.

 

Per cui

  che è equivalente a   dove   ha due soluzioni, come ci aspettavamo dalla simmetria della funzione, coincidenti a

 

Per cui la larghezza a mezza altezza della funzione è data da  

Eseguendo il limite per   troviamo un'espressione convergente a

 

che è l'equivalente della FWHM della normale standard. Viceversa per   otteniamo un FWHM = 2. Difatti per   la distribuzione t di Student coincide con una distribuzione di Lorentz-Cauchy di parametri   dove la FWHM è per l'appunto uguale a  .

StatisticaModifica

Intervallo di confidenzaModifica

La distribuzione di Student viene utilizzata per definire degli intervalli di confidenza per la media di una popolazione, sulla base degli stimatori puntuali   e   della sua media e della sua varianza. Dall'equazione

 

si ha infatti

 .

Scegliendo quindi dei quantili   per la distribuzione di Student con   gradi di libertà, si ha

 ,

cioè un intervallo di confidenza per la media   con livello di confidenza   è:

 .

Qualora si considerino intervalli simmetrici si può utilizzare l'indice   definito da

 ,

ovvero

 ,

e si ottiene l'intervallo di confidenza per   con livello di confidenza  

 .

Altre distribuzioniModifica

La distribuzione di Student con parametro   corrisponde alla distribuzione di Cauchy di parametri  : entrambe regolano il rapporto   tra due variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzione normale standard.

Al tendere di n a infinito la distribuzione di Student con n gradi di libertà converge alla distribuzione normale standard  .

Se   è una variabile aleatoria con distribuzione t di Student di parametro  , allora   segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri  .

Tabella dei quantiliModifica

La seguente tabella[4] esprime, in funzione del parametro n (riga) e di particolari valori di   (colonna), i quantili   per la distribuzione di Student di parametro n:

 .

L'ultima riga, indicata con " ", si riferisce ad una distribuzione normale standard.

n\α 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9975 0.999 0.9995
1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.321 318.309 636.619
2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 22.327 31.599
3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.215 12.924
4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610
5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869
6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959
7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408
8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041
9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781
10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587
11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437
12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318
13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221
14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140
15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073
16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015
17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965
18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922
19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883
20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850
21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819
22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792
23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.768
24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745
25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725
26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707
27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690
28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674
29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659
30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646
40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551
50 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496
60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460
100 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 2.871 3.174 3.390
  1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291

NoteModifica

  1. ^ Hurst, Simon, The Characteristic Function of the Student-t Distribution Archiviato il 18 febbraio 2010 in Internet Archive., Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95
  2. ^ (EN) Student (William Sealy Gosset), The probable error of a mean (PDF), in Biometrika, vol. 6, nº 1, marzo 1908, pp. 1–-25, DOI:10.1093/biomet/6.1.1.
  3. ^ (EN) Ronald Fisher, Applications of "Student's" distribution (PDF), in Metron, vol. 5, 1925, pp. 90-–104 (archiviato dall'url originale il 13 aprile 2011).
  4. ^ Valori critici calcolati con la funzione qt(p,g) di R.

Voci correlateModifica

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