Teorema della farfalla

In matematica, e in particolare in geometria euclidea, il teorema della farfalla afferma che:

sia $M$ il punto medio di una corda $PQ$ di un cerchio e siano $AB$ e $CD$ altre due corde passanti per $M$ e siano $X$ e $Y$ i punti di intersezione tra le corde $AD$ e $BC$ e la corda $PQ$ rispettivamente. Allora $M$ sarà il punto medio di $XY$.

Dimostrazione

Dimostrazione del Teorema della farfalla

Siano $XX'$ e $XX''$ le perpendicolari, condotte da $X$, rispettivamente a $AM$ e a $DM$. In modo analogo, siano $YY'$ e $YY''$ le perpendicolari, condotte da $Y$, rispettivamente a $BM$ e a $CM$.

Adesso, poiché

$\triangle MXX'\sim \triangle MYY',\,$

${MX \over MY}={XX' \over YY'},$

$\triangle MXX''\sim \triangle MYY'',\,$

${MX \over MY}={XX'' \over YY''},$

$\triangle AXX'\sim \triangle CYY'',\,$

${XX' \over YY''}={AX \over CY},$

$\triangle DXX''\sim \triangle BYY',\,$

${XX'' \over YY'}={DX \over BY},$

Dalle precedenti equazioni, si può facilmente dedurre che

$\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},$

${}={AX.DX \over CY.BY},$

${}={PX.QX \over PY.QY},$

${}={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},$

${}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},$

poiché $PM$ = $MQ$

Ora,

${(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.$

Pertanto, possiamo concludere che $MX=MY,$, ovvero $M$ è il punto medio di $XY.$

Bibliografia

H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967.

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema della farfalla, su MathWorld, Wolfram Research.
• The Butterfly Theorem su cut-the-knot
• A Better Butterfly Theorem su cut-the-knot
• Proof of Butterfly Theorem su PlanetMath
• The Butterfly Theorem di Jay Warendorff, da Wolfram Demonstrations Project.