Teorema di Cramér-Wold

Il teorema di Cramér-Wold (dai suoi autori Harald Cramér e Herman Ole Andreas Wold), utilizzato nella teoria della misura afferma che una misura di probabilità di Borel in $\mathbb {R} ^{k}$ è unicamente determinata dalla totalità delle sue proiezioni unidimensionali.

Siano

${\overline {X}}_{n}=(X_{n1},\dots ,X_{nk})\;$

e

$\;{\overline {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})$

vettori casuali di dimensione k. Allora ${\overline {X}}_{n}$ converge a ${\overline {X}}$ se e solo se:

$\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{ni}{\frac {D}{\overrightarrow {\infty }}}\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}.$

per ogni $(t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}$ Vale a dire se per ogni prefissata combinazione lineare delle coordinate di ${\overline {X}}_{n}$ converge in distribuzione alla corrispondente combinazione lineare di ${\overline {X}}$.