Teorema di Glivenko-Cantelli

Il teorema di Glivenko-Cantelli dimostra che la funzione di ripartizione empirica di una variabile casuale unidimensionale converge, con probabilità 1 uniformemente in $x$, verso l'effettiva funzione di ripartizione.

Il teorema venne formulato nel 1933 da Valerij Ivanovič Glivenko e Francesco Paolo Cantelli.

Il teorema

Siano $X_{1},...,X_{n}$ variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite con funzione di ripartizione $F$.

Sia ${\hat {F}}_{n}(x):={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{{X_{i}}\leq x}$ la funzione di ripartizione empirica che approssima l'ignota $F$, dove il simbolo $\mathbf {1} _{{X_{i}}\leq x}$ indica la funzione indicatrice della variabile casuale $X_{i}$, definita come:

$\mathbf {1} _{{X_{i}}\leq x}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ X_{i}\leq x\\0&{\mbox{se}}\ X_{i}>x\end{matrix}}\right.$

Si definisce la massima deviazione della distribuzione empirica dalla variabile casuale che ne sta alla base come:

$d_{n}=\sup _{x}|{\hat {F}}_{n}(x)-F(x)|$.

Allora la differenza d_n converge con probabilità 1 verso zero.

$P(\lim _{n\to \infty }d_{n}=0)=1$

o, equivalentemente, la successione di funzioni ${\hat {F}}_{n}(x)$ converge a $F(x)$ uniformemente con probabilità 1 per $n\rightarrow \infty$.