Teorema di Perron-Frobenius

Il teorema di Perron-Frobenius afferma che, se $A$ è una matrice non negativa (cioè, con tutti gli elementi maggiori o uguali a zero) primitiva e irriducibile allora

1. L'autovalore di modulo massimo $\lambda$ di $A$ è reale positivo
2. Esso è un autovalore semplice
3. L'autovettore corrispondente ha tutte le componenti positive
4. L'autovettore corrispondente è l'unico autovettore non negativo di $A$
5. L'autovalore di modulo massimo, visto come funzione $\rho (A)$ della matrice $A$, è una funzione strettamente crescente in ognuno dei suoi elementi: cioè, se $B\geq A$ (s'intende che tale disuguaglianza valga elemento per elemento) e $B\neq A$, allora $\rho (B)>\rho (A)$

Il teorema di Perron-Frobenius è un risultato abbastanza potente ma elementare di algebra lineare che solitamente non si vede nei primi corsi. Una sua applicazione è per esempio quella di assicurare l'esistenza di misure invarianti per catene di Markov finite.

Storia

Il teorema fu enunciato da Perron nei primi del Novecento e da lui dimostrato nel caso particolare in cui $A$ ha tutti gli elementi positivi; fu poi esteso da Frobenius al caso qui riportato e a casi più complessi di matrici che mandano un cono di $\mathbb {C}$ in sé. Helmut Wielandt trovò poi una dimostrazione particolarmente breve ed elegante del teorema.