Teorema di diagonalizzabilità

In algebra lineare, il teorema di diagonalizzabilità è uno strumento che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata sia diagonalizzabile.

Il teorema

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Sia   una matrice quadrata di ordine   con valori in un campo   (come il campo dei numeri reali o complessi). Il polinomio caratteristico di   è un polinomio di grado n definito nel modo seguente:

 

Le radici   di   appartenenti al campo   sono gli autovalori di  .[1] Ogni autovalore   ha una sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico, detta molteplicità algebrica.[2] Un autovalore con molteplicità algebrica 1 si dice semplice.

L'autospazio   relativo all'autovalore   è l'insieme di tutti gli autovettori aventi   come autovalore, più il vettore nullo:[3]

 

Si dice molteplicità geometrica (o nullità) di   la dimensione dell'autospazio   relativo a  . Un autovalore per cui vale l'uguaglianza tra le due molteplicità (algebrica e geometrica) si dice regolare.

Enunciato

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Il teorema di diagonalizzabilità afferma che   è diagonalizzabile se e solo se sono verificate entrambe le seguenti condizioni :

  • La somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è  .
  • Le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti.

Oppure equivalentemente, che   è diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori è  .

Dimostrazione

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Prima di procedere con la dimostrazione, bisogna fare una premessa: gli autovettori sono i vettori non nulli per cui un endomorfismo  (dove   è uno spazio vettoriale) manda un vettore nel prodotto di quel vettore per uno scalare. Tale scalare è detto autovalore. Ogni endomorfismo può essere associato, una volta fissata una base, a un'unica matrice detta matrice associata. Tale matrice è diagonalizzabile se esiste una base di   composta da autovettori dell'endomorfismo.

Si considerino l'endomorfismo  , con  , la matrice associata   e il sottospazio

 

dove   è l'autospazio generato da   che è un autovalore della matrice  . Ognuno di questi autovalori è distinto e quindi l'intersezione tra coppie di autospazi è il vettore nullo.

Ora   se e solo se la matrice   è diagonalizzabile. Quest'uguaglianza, infatti, equivale all'esistenza di una base di autovettori.

Dobbiamo dimostrare che tale uguaglianza si verifica se e solo se si verificano le condizioni del teorema di diagonalizzabilità.

Consideriamo la disuguaglianza seguente:

 

dove   e   sono rispettivamente la molteplicità algebrica e geometrica dell'autovalore  . Chiaramente   se e solo se entrambe le disuguaglianze sono delle uguaglianze. La somma delle molteplicità algebriche è uguale alla somma delle molteplicità geometriche se e solo se  , per ogni  . La somma delle molteplicità algebriche è uguale a   se e solo se il polinomio caratteristico ha   radici nel campo contate con le loro molteplicità.

Conseguenze

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Il primo punto del teorema implica che il polinomio caratteristico abbia tutte le radici nel campo, ovvero che si possa fattorizzare come prodotto di polinomi di grado 1. Inoltre, dette   e   rispettivamente la molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore  , per ogni autovalore valgono le seguenti disuguaglianze:

 

Di conseguenza, il teorema di diagonalizzabilità ha come corollario i fatti seguenti:

  • Se il polinomio caratteristico ha   radici distinte nel campo,   è diagonalizzabile.
  • Se esiste un autovalore   tale che   allora   non è diagonalizzabile.
  • La forma diagonale di un endomorfismo non è univocamente individuata ma è definita a meno di permutazioni sulla diagonale principale.

Verifichiamo che la seguente matrice non è diagonalizzabile:

 

Il suo polinomio caratteristico   ha una sola radice (che è 1 poiché   ), con molteplicità algebrica 2. Quindi il primo punto del teorema è soddisfatto. A questo punto la molteplicità geometrica dell'autovalore 1 può essere solo 1 o 2. Questa è uguale alla dimensione del nucleo di   La matrice   ha rango 1, quindi per il teorema del rango il suo nucleo ha dimensione   Quindi la molteplicità geometrica è 1, quella algebrica è 2, pertanto la matrice non è diagonalizzabile.

  1. ^ Lang, p. 228.
  2. ^ Lang, p. 230.
  3. ^ Per definizione, un autovettore è sempre diverso da zero. Per questo motivo si aggiunge il vettore nullo nella definizione di autospazio.

Bibliografia

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  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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  • unito.it - diagonalizzazione (PDF), su www2.dm.unito.it. URL consultato il 12 febbraio 2014 (archiviato dall'url originale il 22 febbraio 2014).
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