Teorema di Slutsky

In probabilità, il teorema di Slutsky è un risultato fondamentale sulla convergenza di variabili casuali, attribuito a Evgenij Evgen'evič Sluckij.

Enunciato del teorema

Siano $\{X_{n}\}_{n}$ e $\{Y_{n}\}_{n}$ due successioni di variabili casuali tali che $\{X_{n}\}_{n}$ converge in distribuzione a una variabile casuale $X$ e $\{Y_{n}\}_{n}$ converge in probabilità a una costante reale $c$. Allora:

1. $\{X_{n}+Y_{n}\}_{n}$ converge in distribuzione a $X+c$;
2. $\{Y_{n}X_{n}\}_{n}$ converge in distribuzione a $cX$;
3. $\{X_{n}/Y_{n}\}_{n}$ converge in distribuzione a $X/c$, se $c\neq 0$.

Generalizzazioni

Nelle stesse ipotesi di sopra, si ha che $\{g(X_{n},Y_{n})\}_{n}$ converge in distribuzione a $g(X,c)$ per ogni funzione $g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ continua.

Voci correlate

• Lemma di Slutsky